函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳
知识点精讲
函数奇偶性 定义
设y?f(x),x?D(D为关于原点对称的区间），如果对于任意的x?D，都有f(?x)?f(x)，则称函数
y?f(x)为偶函数；如果对于任意的x?D，都有f(?x)??f(x)，则称函数y?f(x)为奇函数.
性质
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.
函数f(x)是偶函数?函数f(x)的图象关于y轴对称； 函数f(x)是奇函数?函数f(x)的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数y?f(x)在x?0处有意义，则有f(0)?0； 偶函数y?f(x)必满足f(x)?f(|x|).
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
11g(x)?[f(x)?f(?x)]，h(x)?[f(x)?f(?x)]，则f(x)?g(x)?h(x).
22(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)?g(x),f(x)?g(x),f(x)?g(x),f(x)?g(x).
对于运算函数有如下结论：奇?奇=奇；偶?偶=偶；奇?偶=非奇非偶； 奇?(?)奇=偶；奇?(?)偶=奇；偶?(?)偶=偶.
（7）复合函数y?f[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 函数的单调性
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间M?D，若对于任意的x1,x2?M，当x1?x2时，都有
f(x1)?f(x2)（或f(x1)?f(x2)），则称函数f(x)在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M
为函数f(x)的一个增（减）区间.
注：定义域中的x1,x2?M具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的x1,x2?M”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.
熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：
设x1,x2?M?[a,b]且x1?x2，则
f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是增函数?过单调递增函数图
x1?x2象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0.
f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是减函数?过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒
x1?x2小于零?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0.
性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减. 一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若f(x)为增函数，则
1为减函数”f(x)也是错误的.如f(x)?x(x?R,x?0)，则y?则结论成立:
11?为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，f(x)x若f(x)为增函数，且f(x)?0(或f(x)?0），则
1为减函数. f(x)1为增函数. f(x)若f(x)为减函数，且f(x)?0(或f(x)?0），则
复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 函数的周期性 定义
设函数y?f(x)(x?D)，如存在非零常数T，使得对任何x?D,x?T?D，且f(x?T)?f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个x，都满足f(x?T)?f(x)；若
f(x)是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.
性质
若f(x)的周期为T，则nT(n?Z,n?0)也是函数f(x)的周期，并且有f(x?nT)?f(x). 有关函数周期性的重要结论（如表所示）
函数式满足关系（x?R）f(x?T)?f(x)f(x?T)??f(x)11f(x?T)?;f(x?T)??f(x)f(x)f(x?T)?f(x?T)f(x?T)??f(x?T)?f(a?x)?f(a?x)??f(b?x)?f(b?x)?f(a?x)?f(a?x)??f(x)为偶函数?f(a?x)??f(a?x)??f(b?x)??f(b?x)?f(a?x)??f(a?x)??f(x)为奇函数?f(a?x)?f(a?x)??f(b?x)??f(b?x)?f(a?x)?f(a?x)??f(x)为奇函数?f(a?x)??f(a?x)??f(x)为偶函数函数的的对称性与周期性的关系
周期T2T2T2T4T2(b?a)2a2(b?a)2a4(b?a)4a4a
（1）若函数y?f(x)有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则函数f(x)是周期函数，且T?2(b?a)； （2）若函数y?f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a?b)，则函数y?f(x)是周期函数，且
T?2(b?a)；
（3）若函数y?f(x)有一条对称轴x?a和一个对称中心(b,0)(a?b)，则函数y?f(x)是周期函数，且T?4(b?a).
题型归纳及思路提示
题型1 函数的奇偶性
思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：
（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若f(?x)??f(x)，则函数f(x)为奇函数；若
f(?x)?f(x)，则函数f(x)为偶函数.
（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数f(x)的图像关于原点中心对称，则f(x)为奇函数；
若函数f(x)的图像关于y轴对称，则f(x)为偶函数. 【例2.25】判断下列函数的奇偶性.
36?x2（1）f(x)?；
|x?3|?3（2）f(x)?1?x2?（3）f(x)?log2(x?x2?1； x2?1)；
log2(1?x2)（4）f(x)?；
|x?2|?2?x2?x(x?0)（5）f(x)??2.
?x?x(x?0)?
?36?x2?0??6?x?636?x2??解析 （1）由f(x)?可知?，故函数f(x)的定义域为
|x?3|?3?|x?3|?3?0?x?0且x??6{x|?6?x?0或0?x?6}，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数.
?1?x2?0?x2?1?x??1，故函数f(x)的定义域为{?1,1}，关于原点对称，故f(x)?0，所(2)由?2?x?1?0以f(?x)?f(x)??f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)因为对任意实数
x，都有x?x2?1?x?|x|?0，故定义域为
1x2?1?xR.且
f(?x)?log2(x2?1?x)?log2(）??log2(x2?1?x)??f(x)，故f(x)为奇函数.
?1?x2?0??1?x?0或0?x?1，定义域关于原点对称. (4)由??|x?2|?2?0log2(1?x2)log2(1?x2)?此时，f(x)?，故有f(?x)??f(x)，所以f(x)为奇函数.
|x?2|?2?x?x?0,f(?x)??x?x??f(x)；?x?0,f(?x)?x?x??f(x).故f(x)(5)当x?0时，当x?0时，
为奇函数.
评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：
①首先必须判断f(x)的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意x说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足.
22②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.
③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则f(?x)?f(x)?log2(x2?1?x)?log2(x2?1?x)?log21?0，即f(?x)??f(x)，故f(x)为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.
变式1：判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)?(x?1)1?x； 1?x；
（2）f(x)?3?|x?3|4?x2?x?2(x??1)?（3）f(x)??0(?1?x?1)；
?x?2(x?1)?（4）f(x)?|x?2|?|x?2|.
变式2：已知函数f(x)?lg(x?2?x2)?lg2，试判断其奇偶性.
【例2.26】已知函数f(x)?x2?a(x?0,x?R)，试判断其奇偶性. x分析 利用函数奇偶性的定义进行判断.
解析 当a?0时，f(x)?x，满足f(?x)?f(x)，故f(x)为偶函数； 当a?0时，f(x)?x2?2aa,f(?x)?x2?，假设f(?x)?f(x)对任意x?R，x?0恒成立，则此时xxa?0，与前提矛盾；
2假设f(?x)??f(x)对任意x?R，x?0恒成立，则此时2x?0，即x?0，与条件定义域
{x|x?0,x?R}矛盾.
综上所述，当a?0时，f(x)为偶函数；当a?0时，函数f(x)为非奇非偶函数.
评注 ①函数f(x)是奇函数?f(x)?f(?x)?0；函数f(x)是偶函数?f(x)?f(?x)?0.奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.
函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳
