不等式的性质
．掌握不等式的性质．
．能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式(组)和不等式证明．
不等式的性质 ()对称性：＞?. ()传递性：＞，＞?. ()加法法则：＞?. 推论 ＋＞?＞； 推论 ＞，＞?＋＞.
()乘法法则：＞，＞?；＞，＜?. 推论 ＞＞，＞＞?；
推论 ＞＞?＞(∈＋，＞)； 推论 ＞＞?＞(∈＋，＞)．
在不等式的基本性质中，乘法法则的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除以)一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
【做一做】已知＞，则下列各式中正确的个数是( )． ①＜；②＞；③(－)＞.
． ． ． ．
【做一做】已知＞，＞，＞，则＋＋(填“＞”或“＜”)． 【做一做】已知＞＞，＜，则(填“＞”或“＜”)．
一、不等式的性质的应用误区
剖析：使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：
()＞，＞?＋＞＋，已知的两个不等式必须是同向不等式； ()＞＞，且＞＞?＞，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式的两边必须为正值； ()＞＞?＞(∈＋，＞)及＞＞?＞(∈＋，＞)，成立的条件是已知不等式的两边为正值，并且∈＋，＞，否则结论就不成立．假设去掉＞这个条件，取＝，＝－，＝，就会出现＞(－)
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的错误结论；又若去掉了“∈＋，＞”这个条件，取＝，＝，＝－，又会出现＞，即＞的错误结论．
对于性质的推论和推论，在取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：＞?＞(＝＋，∈)，＞?＞(＝＋，∈)．
()性质中的和可以是实数，也可以是代数式． ()性质是不等式移项法则的基础．
()性质的推论是同向不等式相加法则的依据．
()若＞且＞，则＜.若＞，且＜，则＞，即“同号取倒数，方向改变，异号取倒数，方向不变”．
()若＞，＜，则－＞－. ()若＞＞，＞＞，则＞. 二、教材中的“？”
在解一元一次不等式－≤＋的过程中，应用了不等式的哪些性质？ 剖析：
不等式的解 －≤＋ －≤ ≥－ ≥－
题型一判断真假
【例】下列命题中，一定正确的是( )． ．若＞，且＞，则＞，＜ ．若＞，≠，则＞
．若＞，且＋＞＋，则＞ ．若＞，且＞，则＞
反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时，要注意不等式性质成立的条件，不能弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
题型二应用不等式的性质证明不等式 【例】已知，为正实数，求证：＋≥＋.
分析：针对题目特点，可考虑两种方法：一种是直接进行作差比较，按步骤进行，变形这一步最为关键，不管用何种方法变形，一定要向有利于判定差的符号的方向进行，另一种是先平方，再根据两式特点变形比较大小．
反思：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法，其步骤为：作差(或次方作差)——变形——确定符号——得出结论．其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的，证题的思路体现了数学中的转化思想．这里，关键的步骤是对差式的变形．
题型三不等式性质的实际应用
【例】建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
分析：可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为，，根据题意知＜且≥，然后设同时增加的面积为，得到＋＜＋，用比较法判断与的大小即可．
反思：一般地，设，为正实数，且＜，＞，则＞.利用这个不等式，可以解释很多现象，比如克糖水中有克糖(＞＞)，若再添上克糖(＞且未达到饱和状态)，则糖水变甜了．再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖，这是为什么呢？这是因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值，使这个比值接近于黄金分割比，从而带给观众更美的享受．
题型四易错辨析
运用性质 移项：性质的推论 同乘－：性质 同乘：性质
高中数学人教B版必修5学案3.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质学案
