函数；边际成本函数。
解答：本题应先运用拉格朗日函数法，推导出总成本函数TC(Q)， 然后再推导出相应的其他各类函数。
具体地看，由于是短期生产，且⺌eq \\o(K,\\s\%up6(－))⺌＝16，PA＝1，PL＝1，PK＝2，故总成本等式C＝PA·A＋PL·L＋PK·⺌eq \\o(K,\\s\%up6(－))⺌可以写成
C＝1·A＋1·L＋32＝A＋L＋32
生产函数Q＝A⺌eq \\f(1,4)⺌L⺌eq \\f(1,4)⺌K⺌eq \\f(1,2)⺌可以写成
Q＝A⺌eq \\f(1,4)⺌L⺌eq \\f(1,4)⺌(16)⺌eq \\f(1,2)⺌＝4A⺌eq \\f(1,4)⺌L⺌eq \\f(1,4)⺌
而且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。因此，根据以上的内容，相应的拉格朗日函数法表述如下
mi⺌eq \\o(n,\\s\\do4(A，L))⺌ A＋L＋32 s.t. 4A1/4L1/4＝Q (其中， Q为常数) L(A，L，λ)＝A＋L＋32＋λ(Q－4A1/4L1/4)
将以上拉格朗日函数分别对A、L、λ求偏导，得最小值的一阶条件为
⺌eq \\f(?L,?A)⺌＝1－λA－⺌eq \\f(3,4)⺌L⺌eq \\f(1,4)⺌＝0(1)
⺌eq \\f(?L,?L)⺌＝1－λA⺌eq \\f(1,4)⺌L－⺌eq \\f(3,4)⺌＝0(2) ⺌eq \\f(?L,?λ)⺌＝Q－4A⺌eq \\f(1,4)⺌L⺌eq \\f(1,4)⺌＝0(3)
由式(1)、式(2)可得
⺌eq \\f(L,A)⺌＝⺌eq \\f(1,1)⺌
即 L＝A
将L＝A代入约束条件即式(3)，得
Q－4A⺌eq \\f(1,4)⺌A⺌eq \\f(1,4)⺌＝0
解得 A*＝⺌eq \\f(Q2,16)⺌
且 L*＝⺌eq \\f(Q2,16)⺌
在此略去关于成本最小化问题的二阶条件的讨论。 于是，有短期生产的各类成本函数如下
TC(Q)＝A＋L＋32＝⺌eq \\f(Q2,16)⺌＋⺌eq \\f(Q2,16)⺌＋32＝⺌eq \\f(Q2,8)⺌＋32 AC(Q)＝⺌eq \\f(TC(Q),Q)⺌＝⺌eq \\f(Q,8)⺌＋⺌eq \\f(32,Q)⺌ TVC(Q)＝⺌eq \\f(Q2,8)⺌
AVC(Q)＝⺌eq \\f(TVC(Q),Q)⺌＝⺌eq \\f(Q,8)⺌ MC(Q)＝⺌eq \\f(dTC(Q),dQ)⺌＝⺌eq \\f(1,4)⺌Q
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9. 已知某厂商的生产函数为Q＝0.5L1/3K2/3；当资本投入量K＝50时资本的总价格为500；劳动的价格PL＝5。求：
(1)劳动的投入函数L＝L(Q)。
(2)总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。
(3)当产品的价格P＝100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？
解答：根据题意可知，本题是通过求解成本最小化问题的最优要素组合，最后得到相应的各类成本函数，并进一步求得相应的最大利润值。
(1)因为当K＝50时的资本总价格为500，即PK·K＝PK·50＝500，所以有PK＝10。
根据成本最小化的均衡条件⺌eq \\f(MPL,MPK)⺌＝⺌eq \\f(PL,PK)⺌，其中，MPL＝⺌eq \\f(1,6)⺌L－⺌eq \\f(2,3)⺌K⺌eq \\f(2,3)⺌，MPK＝⺌eq \\f(2,6)⺌L⺌eq \\f(1,3)⺌K－⺌eq \\f(1,3)⺌，PL＝5，PK＝10。
于是有 ⺌eq \\f(1,6)⺌L－⺌eq \\f(1,3)⺌K⺌eq \\f(2,3)⺌,⺌eq \\f(2,6)⺌L⺌eq \\f(1,3)⺌K－⺌eq \\f(1,3)⺌)⺌＝⺌eq \\f(5,10)⺌
整理得 ⺌eq \\f(K,L)⺌＝⺌eq \\f(1,1)⺌ 即 K＝L
将K＝L代入生产函数Q＝0.5L⺌eq \\f(1,3)⺌K⺌eq \\f(2,3)⺌，有
Q＝0.5L⺌eq \\f(1,3)⺌L⺌eq \\f(2,3)⺌
得劳动的投入函数L(Q)＝2Q。
此外，也可以用以下的拉格朗日函数法求解L(Q)。具体如下：
mi⺌eq \\o(n,\\s\\do4(L，K))⺌ 5L＋10K
s.t. 0.5L⺌eq \\f(1,3)⺌K⺌eq \\f(2,3)⺌＝Q(其中Q为常数)
L(L，K，λ)＝5L＋10K＋λ(Q－0.5L⺌eq \\f(1,3)⺌K⺌eq \\f(2,3)⺌)
一阶条件为
⺌eq \\f(?L,?L)⺌＝5－⺌eq \\f(1,6)⺌λL－⺌eq \\f(2,3)⺌K⺌eq \\f(2,3)⺌＝0(1) ⺌eq \\f(?L,?K)⺌＝10－⺌eq \\f(2,6)⺌λL⺌eq \\f(1,3)⺌K－⺌eq \\f(1,3)⺌＝0(2) ⺌eq \\f(?L,?λ)⺌＝Q－0.5L⺌eq \\f(1,3)⺌K⺌eq \\f(2,3)⺌＝0(3)
由式(1)、式(2)可得
⺌eq \\f(K,L)⺌＝⺌eq \\f(1,1)⺌
即 K＝L
将K＝L代入约束条件即式(3)，可得
Q＝0.5L⺌eq \\f(1,3)⺌L⺌eq \\f(2,3)⺌
得劳动的投入函数L(Q)＝2Q。
此处略去关于最小化问题的二阶条件的讨论。 (2)将L(Q)＝2Q代入成本等式C＝5L＋10K得
TC(Q)＝5×2Q＋500＝10Q＋500
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AC(Q)＝⺌eq \\f(TC(Q),Q)⺌＝10＋⺌eq \\f(500,Q)⺌ MC(Q)＝⺌eq \\f(dTC(Q),dQ)⺌＝10
(3)由(1)可知，K＝L，且已知K＝50，所以，有K＝L＝50。 代入生产函数，有
Q＝0.5L⺌eq \\f(1,3)⺌K⺌eq \\f(2,3)⺌＝0.5×50＝25
由于成本最小化的要素组合(L＝50，K＝50)已给定，相应的最优产量Q＝25也已给定，且令市场价格P＝100，所以，由利润等式计算出的就是厂商的最大利润。
厂商的利润＝总收益－总成本 ＝P·Q－TC＝P·Q－(PL·L＋PK·K) ＝(100×25)－(5×50＋500) ＝2 500－750 ＝1 750
所以，本题利润最大化时的产量Q＝25，利润π＝1 750。
10.假定某厂商短期生产的边际成本函数为SMC(Q)＝3Q2－8Q＋100，且已知当产量Q＝10时的总成本STC＝2 400，求相应的STC函数、SAC函数和AVC函数。
解答：由总成本和边际成本之间的关系，有
STC(Q)＝∫SMC(Q)dQ＝∫(3Q2－8Q＋100)dQ ＝Q3－4Q2＋100Q＋C ＝Q3－4Q2＋100Q＋TFC
以Q＝10，STC＝2 400代入上式，求TFC值，有
2 400＝103－4×102＋100×10＋TFC TFC＝800
进一步，可得到以下函数：
STC(Q)＝Q3－4Q2＋100Q＋800
SAC(Q)＝⺌eq \\f(STC(Q),Q)⺌＝Q2－4Q＋100＋⺌eq \\f(800,Q)⺌
AVC(Q)＝⺌eq \\f(TVC(Q),Q)⺌＝Q2－4Q＋100
11. 试画图说明短期成本曲线相互之间的关系。 解答：要点如下：
图5—5是一幅短期成本曲线的综合图，由该图可分析得到关于短期成本曲线相互关系的主要内容。
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图5—5
(1)短期成本曲线共有七条，分别是总成本TC曲线、总可变成本TVC曲线、总固定成本TFC曲线；以及相应的平均成本AC曲线、平均可变成本AVC曲线、平均固定成本AFC曲线和边际成本MC曲线。
(2)从短期生产的边际报酬递减规律出发，可以得到短期边际成本MC曲线是U形的，如图5—5(b)所示。MC曲线的U形特征是推导和理解其他的短期总成本曲线(包括TC曲线、TVC曲线)和平均成本曲线(包括AC曲线和AVC曲线)的基础。
(3)由于MC(Q)＝⺌eq \\f(dTC(Q),dQ)⺌＝⺌eq \\f(dTVC(Q),dQ)⺌， 所以，MC曲线的U形特征便决定了TC曲线和TVC曲线的斜率和形状，且TC曲线和TVC曲线的斜率是相等的。在图5—5中，MC曲线的下降段对应TC曲线和TVC曲线的斜率递减段；MC曲线的上升段对应TC曲线和TVC曲线的斜率递增段；MC曲线的最低点A(即MC曲线斜率为零时的点)分别对应的是TC曲线和TVC曲线的拐点A″和A′。这也就是在Q＝Q1的产量上，A、A′和A″三点同在一条垂直线上的原因。
此外，由于总固定成本TFC是一个常数，且TC(Q)＝TVC(Q)＋TFC， 所以，TFC曲线是一条水平线，TC曲线和TVC曲线之间的垂直距离刚好等于不变的TFC值。
(4)一般来说，平均量与边际量之间的关系是：只要边际量大于平均量，则平均量上升；只要边际量小于平均量，则平均量下降；当边际量等于平均量时，则平均量达到极值点(即极大值或极小值点)。由此出发，可以根据MC曲线的U形特征来推导和解释AC曲线和AVC曲线。
关于AC曲线。由U形的MC曲线决定的AC曲线一定也是U形的。AC曲线与MC曲线一定相交于AC曲线的最低点C，在C点之前，MC＜AC，则AC曲线是下降的；在C点之后，MC＞AC，则AC曲线是上升的。此外，当AC曲线达到最低点C时，TC曲线一定有一条从原点出发的切线，切点为C′，该切线以其斜率表示最低的AC。这就是说，图中当Q＝Q3时，AC曲线最低点C和TC曲线的切点C′一定处于同一条垂直线上。
类似地，关于AVC曲线。由U形的MC曲线决定的AVC曲线一定也是U形的。AVC曲线与MC曲线一定相交于AVC曲线的最低点B。在B点之前，MC＜AVC，则AVC曲线是下降的；在B点之后，MC＞AVC，则AVC曲线是上升的。此外，当AVC曲线达到最低点B时，TVC曲线一定有一条从原点出发的切线，切点为B′，该切线以其斜率表示最低的AVC。
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这就是说，图中当Q＝Q2时，AVC曲线的最低点B和TVC曲线的切点B′一定处于同一条垂直线上。
(5)由于AFC(Q)＝⺌eq \\f(TFC,Q)⺌， 所以， AFC曲线是一条斜率为负的曲线。而且， 又由于AC(Q)＝AVC(Q)＋AFC(Q)， 所以， 在每一个产量上的AC曲线和AVC曲线之间的垂直距离等于该产量上的AFC曲线的高度。
12.短期平均成本SAC曲线与长期平均成本LAC曲线都呈现出U形特征。请问：导致它们呈现这一特征的原因相同吗？为什么？
解答：导致SAC曲线和LAC曲线呈U形特征的原因是不相同。在短期生产中，边际报酬递减规律决定，一种可变要素的边际产量MP曲线表现出先上升达到最高点以后再下降的特征，相应地，这一特征体现在成本变动方面，便是决定了短期边际成本SMC曲线表现出先下降达到最低点以后再上升的U形特征。而SMC曲线的U形特征又进一步决定了SAC曲线必呈现出先降后升的U形特征。简言之，短期生产的边际报酬递减规律是导致SAC曲线呈U形特征的原因。
在长期生产中，在企业的生产从很低的产量水平逐步增加并相应地逐步扩大生产规模的过程中，会经历从规模经济(亦为内在经济)到规模不经济(亦为内在不经济)的变化过程，从而导致LAC曲线呈现出先降后升的U形特征。
13. 试画图从短期总成本曲线推导长期总成本曲线，并说明长期总成本曲线的经济含义。
解答：要点如下：
(1)什么是长期总成本函数？所谓长期总成本LTC(Q)函数是指在其他条件不变的前提下，在每一个产量水平上，通过选择最优的生产规模所达到的生产该产量的最小成本。这便是我们推导长期总成本LTC曲线，并进一步推导长期平均成本LAC曲线(即第14题)和长期边际成本LMC曲线(即第15题)的基础。此外，还需要指出，任何一个生产规模，都可以用短期成本曲线(如STC曲线、SAC曲线和SMC曲线)来表示。
(2)根据(1)，于是，我们推导长期总成本LTC曲线的方法是：LTC曲线是无数条STC曲线的包络线，如图5—6所示。LTC曲线表示：例如，在Q1的产量水平，厂商只有选择以STC1曲线所代表的最优生产规模进行生产，才能将生产成本降到最低，即相当于aQ1的高度。同样，当产量水平分别为Q2和Q3时，则必须分别选择相应的以STC2曲线和STC3曲线所代表的最优生产规模进行生产，以达到各自的最低生产成本，即分别为bQ2和cQ3的高度。
图5—6
由此可得长期总成本LTC曲线的经济含义：LTC曲线表示长期内厂商在每一个产量水平上由最优生产规模所带来的最小生产总成本。
(3)最后，还需要指出的是，图中三条短期总成本曲线STC1、STC2和STC3的纵截距是不同的，且TFC1＜TFC2＜TFC3，而STC曲线的纵截距表示相应的工厂规模的总固定成本TFC，所以，图中STC1曲线所代表的生产规模小于STC2曲线所代表的，STC2曲线所代表的
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西方经济学微观部分（高鸿业主编 - 第五版）习题答案
