第2讲 等差数列及其前n项和
1．(2018·南通模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝1，a4＝5，则S5＝________. [解析] 法一：由等差数列的通项公式，得5＝1＋2d，d＝2，a1＝－1，S5＝15. 5（a1＋a5）5（a2＋a4）5×6法二：S5＝＝＝＝15.
222[答案] 15
2．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为________． 9×8
[解析] am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.
2所以m＝37. [答案] 37
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝__________． [解析] 设{an}的公差为d，由题意知 6×5??2a1＋d＝6a1＋d，2 ?
??a1＋3d＝1，
??a1＝7，解得?所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.
?d＝－2，?
[答案] －1
4．(2018·温州模拟)记Sn为等差数列{an}前n项和，若－＝1，则其公差d＝
32________．
[解析] 由－＝1，得
32[答案] 2
5．已知{an}为等差数列，若正值时，n＝________.
[解析] 由
S3S2
S3S2a1＋a2＋a3a1＋a2
3
－
2
＝1，即a1＋d－?a1＋?＝1，所以d＝2.
2??
?
d?
a11
<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小a10
a11a11＋a10
<－1，得<0，且它的前n项和Sn有最大值，则a10>0，a11<0，a11＋a10<0，a10a10
则S19>0，S20<0，那么当Sn取得最小正值时，n＝19.
[答案] 19
6．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(四))已知公差不为0的等差数列{an}的前n 1
项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则
S3
S7－S4
的值为________．
[解析] 法一：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列， 所以a3＝a1a4，所以(a1＋2d)＝a1(a1＋3d)，
3×23a1＋d2S33a1＋3d－9d因为d≠0，所以a1＝－4d，所以＝＝＝＝
S7－S44×3?3a1＋15d3d7×6?
d7a1＋d－?4a1＋
2?2??－3.
法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列， 所以a3＝a1a4，所以(a1＋2d)＝a1(a1＋3d)，因为d≠0，所以a1＝－4d， 所以3a2a1＋d－3d＝＝＝＝－3. S7－S43a6a1＋5dd2
2
2
2
S3
[答案] －3
7．(2018·泰安模拟)正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，2an＝an＋1＋an－1(n∈N，n≥2)，则a7＝________.
[解析] 因为2an＝an＋1＋an－1(n∈N，n≥2)，所以数列{an}是以a1＝1为首项，以d＝a2－
2
a21＝3为公差的等差数列，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝3n－2，n≥1，所以a7
2
2
2
2
2
2
2
2
2
＝3×7－2＝19.
[答案] 19
8．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18
＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值为________．
[解析] 由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0， 所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60. [答案] 60
9．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}的前n项和，若Sn取得最大值，则n等于________．
[解析] 因为3a4＝7a7，所以3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)， 33
所以a1＝－d>0，所以d<0，
4所以an＝a1＋(n－1)d＝(4n－37)，
4当n≤9时，an>0，当n≥10时，an<0， 所以使Sn取得最大值的n＝9. [答案] 9
d 2
10．(2018·南京模拟)已知正项数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且________．
[解析] 因为anan＋＝2，则a12＝an＋1an－1
?1?anan11211
＋＝2，所以＋＝，所以??为等差数列，且首项为＝，an＋1an－1an＋1an－1ana12?an?
111111n21
公差为－＝，所以＝＋(n－1)×＝，所以an＝，所以a12＝.
a2a12an222n6
1[答案]
6
11．(2018·徐州调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N，n≥2)，数列{bn}
2an－1＋11*
满足关系式bn＝(n∈N)．
an－1
*
an(1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．
1an－1
[解] (1)证明：因为bn＝，且an＝，
an2an－1＋1所以bn＋1＝
1
an＋1
＝
1
an2an＋1an＝2an＋1
，
an2an＋11
所以bn＋1－bn＝－＝2.
an1
又b1＝＝1，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
a1
11
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，所以an＝＝
anbn1
. 2n－1
1
所以数列{an}的通项公式为an＝.
2n－1
12．(2018·南京、盐城高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－，(n＋2)·cn＝Snnan＋1＋an＋2Sn*
－，其中n∈N. 2n(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列． 解：(1)因为{an}是公差为2的等差数列， 所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1.
*
Snn 3
因为(n＋2)cn＝
a1＋2n＋a1＋2（n＋1）
2
－(a1＋n－1)＝n＋2，所以cn＝1.
(2)证明：由(n＋1)bn＝an＋1－，
得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn，(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)·an＋2－Sn＋1， 两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn. 从而(n＋2)cn＝
Snnan＋1＋an＋2Snan＋1＋an＋2an＋2－an＋1
－＝－[an＋1－(n＋1)bn]＝＋(n＋1)bn＝2n22
（n＋2）bn＋1－nbnn＋2＋(n＋1)bn＝(bn＋bn＋1)，
22
1
因此cn＝(bn＋bn＋1)．
2
因为对一切n∈N，有bn≤λ≤cn，
1
所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，故bn＝λ，cn＝λ.
2所以(n＋1)λ＝an＋1－，① 1Sn(n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－，②
2n1
②－①得(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ，故an＋1－an＝2λ(n≥2)．
2又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ(n≥1)．所以数列{an}是等差数列．
1
1．已知等差数列{an}中，a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是________．
[解析] 因为a8＝a1＋7d≥15，a9＝a1＋8d≤13，所以a12＝a1＋11d＝－3(a1＋7d)＋4(a1
＋8d)≤7.
[答案] (－∞，7]
85
2．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，则这五个数的积为________．
9[解析] 设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d， 由已知条件得
（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5，???85 22222（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝，?9?
*
SnnS1
a＝1，??解得?2
d＝±.?3?
4
11577511
所求5个数分别为－，，1，，或，，1，，－. 3333333335
故它们的积为－. 8135
[答案] －
81
3．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题： ①数列{an}是递增数列；②数列{nan}是递增数列； ③数列??是递增数列；④数列{an＋3nd}是递增数列．
?n??an?
其中的真命题为________．(填序号)
[解析] 因为d>0，所以an＋1>an，所以①是真命题．因为n＋1>n，但是an的符号不知道，所以②是假命题．同理③是假命题．由an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d>0，所以④是真命题．
[答案] ①④
4．(2018·江西省七校联考改编)《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织 ，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则第2天织的布的尺数为________．
[解析] 由题意可知，织布数量是以5为首项的等差数列，且前30项的和为390.设公30×29d16161差为d，30×5＋＝390 ，解得d＝，所以第2天织布的尺数为d＋5＝.
22929
161
[答案]
29
5．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)(c为常数)． (1)证明：??是等差数列；
?n??an?
(2)若{an}是正数组成的数列，试给出不依赖于n的一个充要条件，使得数列{an}是等差数列，并说明理由．
[解] (1)证明：由nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)，可得
?an?an＋1an＝＋c，所以??是以1为首项，c为公差的等差数列． n＋1n?n?
(2)由(1)可知，＝1＋(n－1)c， 则an＝n＋n(n－1)c.
{an}是等差数列的充要条件是an＝an＋b， 即an＋2abn＋b＝cn＋(1－c)n，则c＝1.
22
2
2
ann 5
江苏专版高考数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和分层演练直击高考文
