3.3.3~3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的
距离
课后篇巩固提升
1.已知两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
A.4 C.26
5√13B.13 D.20
7√102√13解析∵直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,
∴3=
6
??1≠,解得m=2.
1-3
∴两条直线方程分别为3x+y-3=0与6x+2y+1=0,即6x+2y-6=0与6x+2y+1=0. ∴两条直线之间的距离为d=答案D 2.已知点A(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为5,则点A的坐标为( ) A.(0,-2) C.(0,-2)或(2,4)
B.(2,4) D.(1,1)
|2(1+??)-(1+3??)-1|√22+1
√5√5|-6-1|√62+22=
7√10. 20解析直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得=
5,整理得|t|=1,所以t=1或t=-1.当t=1
时,点A的坐标为(2,4);当t=-1时,点A的坐标为(0,-2).综上,点A的坐标为(0,-2)或(2,4),故选C. 答案C 3.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是 A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0
解析(法一)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知解得C=-6(舍去)或C=8. 故所求直线的方程为2x+3y+8=0.
(法二)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0.
|2-3-6|√22+32( )
|2-3+??|√22+32=, 答案D 4.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为( ) A.√2 C.-1
B.0 D.1
解析直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1),所以点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时PQ垂直于直线mx-y+1-2m=0,即m·=-1,所以m=-1,故选C. 3-2答案C 5.过点(1,2),且与原点距离最大的直线方程为( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0
解析由已知得,所求直线过(1,2),且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线,
2-1
∴所求直线的斜率k=-2, ∴y-2=-2(x-1),
即x+2y-5=0. 答案A 6.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有 条.
解析显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由方程为4x-3y+2=0,因此满足条件的直线有两条. 答案2 7.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于10,且直线l1不经过第四象限,则a= .
解析由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为
|-2??-1|√42+(-2)21
1
|-??+3|√1+??2=1得,k=,所以直线
4
37√5=
7√5|2??+1|,整理得102√5=
7√5,解得10a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以
a=3. 答案3 8.已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为2,则b+c= . 解析将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以b=8.由c=-10,所以b+c=38或b+c=-2. 答案38或-2
|10-??|√62+82=2,解得c=30,或
9.已知直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为 . 解析显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;
当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
∵点A,B到l的距离相等, ∴|-2??+1-??|√??2+1
=
|4??-5-??|√??2+1
, ∴|1-3k|=|3k-5|,
解得k=1,∴l的方程为x-y-1=0. 综上,l的方程为x=1或x-y-1=0. 答案x=1或x-y-1=0
10.已知△ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30). (1)判断△ABC的形状;
(2)当BC边上的高为1时,求m的值.
解(1)因为直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-,
所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形. 3??-2??+6=0,??=2,(2)解方程组{得{即A(2,6).
??=6,2??+3??-22=0,由点到直线的距离公式得d=|3×2+4×6-??|√32+423223=
|30-??|
. 5当d=1时,
|30-??|
=1,|30-m|=5,解得5
m=25或m=35.
所以m的值为25或35.
11.已知直线l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.
(1)若点P在直线l1上,且到直线l2的距离为3√5,求点P的坐标; (2)若l2∥l3,求l2与l3的距离. 解(1)依题意可设P(t,t),由|2??+??-3|=3√5,得|t-1|=5, √5解得t=-4或t=6,所以点P的坐标为(-4,-4)或(6,6). (2)由l2∥l3得a=-4,
∴l2:2x+y-3=0,l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0. ∴l2与l3的距离d=12.
|-3-(-2)|√5=
√55
.
(选做题)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(2,3). (1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标; (2)在△ACD中,求CD边上的高所在直线方程; (3)求四边形ABCD的面积. 解(1)依题意得,线段AC中点为D(3,9).
(2)因为kCD=6,所以CD边上的高的斜率为-6,又CD边上的高过点A,所以CD边上的高所在的直线方程为y-5=-6(x+1),即y=-6+6;
(3)因为BC:x-y+1=0,所以点A(-1,5)到BC 的距离为
|-1-5+1|√21
??
29
1
1,42
,点
1,42
也为线段BD中点,设D(x,y),因为B(-2,-1),则可得
=
5√2,又因为2BC=4√2,所以四边形ABCD的面积为
5√2×4√2=20. 2
学考优化指导数学(人教A必修2)3.3.3~3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
