全国高中数学联赛试题及解答
全国高中数学联合竞赛试题（A卷）
一试
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
11
1. 若正数a,b满足2?log2a?3?log3b?log6?a?b?，则?的值为________．
答案：设连等式值为k，则a?2k?2,b?3k?3ab
,a?b?6，可得答案108
k分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过
?3?2. 设集合??b|1?a?b?2?中的最大元素与最小你别为M,m，则M?m的值为______．
??3a333答案：?b??2?5，?b??a?23，均能取到，故答案为5?23 a1aa分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数f?x??x2?ax?1在[0,??)上单调递增，则实数a的取值范围是______．
答案：零点分类讨论去绝对值，答案??2,0?
分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过
2?n?2?a20144. 数列?an?满足a1?2，an?1??______． an?n?N*?，则
a?a??an?11220132?n?2?a答案：n?1?，迭乘得an?2n?1?n?1?，Sn?2?2?3?22?4??2n?1?n?1?，
ann?12015 乘以公比错位相减，得Sn?2nn，故答案为．
2013分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n项和，集训队讲义专门训练并重点强调过
5. 正四棱锥P?ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是________．
12答案：OB为公垂线方向向量，故距离为OB? 24分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过
6. 设椭圆?的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与?交于点P,Q．若PF2?F1F2，且3PF1?4QF1，则
椭圆?的短轴与长轴的比值为________．
答案：不妨设焦点在x轴（画图方便），设PF1?4,QF1?3，焦距为2c，2a?2c?4，
26． 7分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关
可得△PQF2三边长为7,2c?1,2c，过F2作高，利用勾股可得c?5，进而可得答案
7. 设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I．若点P满足PI?1，则△APB与△APC的面积之
比的最大值为________．
Ssin?PAB答案：APB?，又两角和为60°，故只需?PAB最大，即AP与
SAPCsin?PAC3?5 利用两角和、两角差正弦计算即可，答案
2分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹
?I,1?切于对称轴右侧
全国高中数学联赛试题及解答
8. 设A,B,C,D是空间中四个不共面的点，以
1的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是2相互独立的，则A,B之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______． 答案：总连法64种，按由A到B最短路线的长度分类．长度为1，即AB连其余随意，32种； 长度为2，即AB不连，ACB或ADB连，其余随意，ACB连8种，故共8?8?2?14种 （一定注意ACB,ADB同时连被算了2次，根据CD是否连有2种情形）；长度为3，两种情形
483 考虑ACDB，ACDB连、AB,CB,AD均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案?
644分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目
二、解答题（本大题共3小题，共56分）
9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物
线y2?4x的两条切线，两切点连线lP与PO垂直．设直线lP与直线PO，x轴的交点分别为Q,R． （1）证明：R是一个定点；
PQ（2）求的最小值．
QR答案：（1）设P?a,b?，A?x1,y1?,B?x2,y2?，a?0,b?0，PA:yy1?2?x?x1?，PB:yy2?2?x?x2? 故A,B两点均适合方程by?2?a?x?，利用垂直，可得a??2，故交点为定点?2,0?
PQ1bb?（2）∵a??2，故kPO??,kPR??，设?OPR??，则?为锐角，，利用两角差 QRtan?2b24PQ8???22． 的正切公式，可得QR2b分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过
10. （本题满分20分）数列?an?满足a1?，an?1?arctan?secan?n?N*．求正整数m，使得
61． sina1?sina2??sinam?1003n?2????答案：由反函数值域，知an???,?，tan2an?1?sec2an?tan2an?1??tan2a1?n?1?，
223??tanamtana1tana2tanamtana1tana2tana11sina1?sina2??sinam?????? seca1seca2secamtana2tana3tanam?1tanam?13m?1故m?3333
分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练
??? 全国高中数学联赛试题及解答
11. （本题满分20分）确定所有的复数?，使得对任意复数z1,z2?z1,z2?1,z1?z2?，均有
?z1???2??z1??z2?????z2．
22答案：转换命题为计算存在z1,z2使得相等时的充要条件
存在z1,z2使得相等，记f?z???z?????z，f?z1??f?z2???z1?z2?2???z1?z2???z1?z2?0， 则?z1?z2???z1?z2?2???z1?z2?，故??z1?z2?2??2??z1?z2?2a?2， 故??2； 若??2，令z1???????222计算z1?z2???,z1?z2?2?i,z1?z2??2?i并代入，知f?z1??f?z2?．
??i,z2?????i，其中0???1??，则z1?z2，??2??i???2???1，
综上，满足条件的?为??Z,??2
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