高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质练
习（含解析）新人教A版选修21
[A 基础达标]
1．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线的方程为( ) A．－＝1 2525C．－＝1 1616
x2y2
y2x2
B．－＝1
99D．－＝1 1616
2
2
x2y2x2
y2
解析：选D．由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x－y＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝5－3＝16，所以双曲线的方程为x－y＝16，即
2
2
2
2
－＝1. 1616
x2y2
x2y25
2．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，且其右焦点F2的坐标为(5，0)，
ab4
则双曲线C的方程为( )
A．－＝1
43C．－＝1
916
x2y2x2
B．－＝1 169D．－＝1
34
x2y2
y2x2y2
c5x2
解析：选B．依题意得e＝＝，又c＝5，故a＝4，所以b＝3，所以双曲线C的方程为a416
－＝1.故选B．
9
y2
x2y2
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4，
ab0)到C的渐近线的距离为( )
A．2 32C．
2
B．2 D．22
解析：选D．法一：由离心率e＝＝2，得c＝2a，又b＝c－a，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝22.故选D．
法二：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距
41＋1
ca222
离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为
41＋1
＝22.故选D．
4．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( ) 4A． 3C．2
5B． 3D．3
x2y2
解析：选B．不妨设双曲线的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则2×2b＝2a＋2c，即
ab?a＋c?＝c2－a2，所以3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，注意
b＝.又b＝c－a，则??2?2?
a＋c2
2
2
2
5
到e＞1，得e＝.故选B．
3
5．如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则
910|P2F1|－|P1F1|的值是( )
x2y2
A．3 C．6
B．4 D．8
解析：选C．设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
6．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．
解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4，0)，故双曲线的一个焦点为(－4，0)，即c＝4.设等轴双曲线方程为x－y＝a，则c＝2a＝16，解得a＝8，所以双曲线方程为－＝1.
88
答案：－＝1
88
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2
x2y2x2y2
7．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1与C2的离
abab心率之积为
3
，则C2的渐近线方程为________． 2
a2－b2a2＋b2322
解析：依题意得 ·＝，化简得a＝2b.
aa2
因此C2的渐近线方程为y＝±x＝±答案：x±2y＝0
ba1
2
x，即x±2y＝0.
x2y2
8．设M为双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)右支上一点，A，F分别为双曲线的左顶点和
ab右焦点，且△MAF为等边三角形，则双曲线的离心率为________．
解析：设双曲线的左焦点为F′，因为△MAF为等边三角形，所以|MF|＝|AF|＝a＋c，从而|MF′|＝3a＋c，在△MFF′中，由余弦定理可得(3a＋c)＝(a＋c)＋4c－2×2c×(a＋c)cos 60°，解得e＝4或e＝－1(舍去)．
答案：4
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 解：(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b＝c－a＝6－3＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
927927
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2y2x2
x2y2
(2)设双曲线方程为4x－9y＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
λλ2
2
49
当λ＞0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；
494－λyx当λ＜0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1.
9981
4故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
94981
4
2
2
λx2y2
x2y2y2x2
x2y2
10．设双曲线2－2＝1(0 ab到直线l的距离为 3 c，求双曲线的离心率． 4 xy|b·0＋a·0－ab|3 解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.于是有＝c，所以 ab4a2＋b2 ab＝323 c，两边平方，得a2b2＝c4.又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4，416 44222 得3e－16e＋16＝0，解得e＝4或e＝. 3 a2＋b2b2 又b>a，所以e＝2＝1＋2>2， aa2 则e＝2.于是双曲线的离心率为2. [B 能力提升] 11．(2019·福州八中检测)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A．5 C．3 B．2 D．2 x2y2 解析：选D．设双曲线的方程为2－2＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如 ab图，|AB|＝|BM|＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于点H，则∠MBH＝60°，|BH|＝a，|MH| x2y2 ＝3a，所以M(2a，3a)．将点M的坐标代入双曲线的方程2－2＝1，得a＝b，所以e＝2. ab故选D． x22 12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线2－y＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线 a→→ 右支上的任意一点，则OP·FP的取值范围为( ) A．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞) ?7?C．?－，＋∞? ?4??7?D．?，＋∞? ?4? 解析：选B．因为F(－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a＋1＝4，即a＝3，所以双曲线方程为－y＝1.设点P(x0，y0)(x0≥3)，则－y＝1(x0≥3)，可得y＝－1(x0≥3)， 333 2 2 x2 2 x20 2 020 x20 x04x0→→→→2 易知FP＝(x0＋2，y0)，OP＝(x0，y0)，所以OP·FP＝x0(x0＋2)＋y0＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0 33 22 3→→ －1，此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0＝－.因为x0≥3，所以当x0＝3时，OP·FP44→→ 取得最小值×3＋23－1＝3＋23，故OP·FP的取值范围是[3＋23，＋∞)． 3 x2y2 13．已知双曲线E：－＝1. m5 (1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线E的离心率为e∈?解：(1)m＝4时， 双曲线方程化为－＝1，所以a＝2，b＝5，c＝3， 45 所以焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，渐近线方程为y＝± 5 2 ?6? ，2?，求实数m的取值范围． ?2? x2y2 x. c2m＋55 (2)因为e＝2＝＝1＋， amm2 e∈? 35?6? ，2?，所以<1＋<2，解得5 2m?2? 所以实数m的取值范围是(5，10)． 14．(选做题)已知双曲线C1：x－＝1. 4 (1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，3)的双曲线C2的标准方程； →→ (2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点．当OA·OB＝3时，求实数m的值． 解：(1)双曲线C1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)， 2 y2 x2y2 设双曲线C2的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)， aba＋b＝5，2??a＝4，??则?163解得?2 ?b＝1，－＝1，?22 ??ab所以双曲线C2的标准方程为－y＝1. 4 (2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x， 设A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)． 2 2 x2 2
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质练习(含解析)新人教A版选修21
