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装 订 装 线 订 线 内 不 要 答 题 毕业生就业指导课考核办法（教师版）东 北 大 学
秦 皇 岛 分 校
课程名称： 解析几何 试卷： A答案 考试形式：闭卷
授课专业：信息与计算科学 考试日期： 2008年 1月11日 试卷：共 3 页 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 阅卷人 一、填空：（每题3分，共15分）
1、在直角坐标系中，点P(3,?2,?5)到平面2x?y?2z?8?0的距离为 2 ；2、经过点P0(1,?2,3)且与平面3x?y?2z?4?0平行的平面方程为3x?y?2z?5?0；
3、在右手直角坐标系中，?(3,4,5),?(2,1,2)，则??,???arccos223； 4、已知：??2,??3，则???23时，????与????相互垂直；
5、在右手直角坐标系下，点(1,2,3)到直线x?3y?1z?42??1?2的距离为53。 二、计算题：（每题6分，共24分） 1、已知：????2，??,????3，求2??3?；
解： 2??3??(2??3?)?(2??3?) ……（3分） ?4?2?12????9?2 ＝16?12?2?2?cos?3?36?27。 ……（6分）
2、在右手直角坐标系中，一个四面体的顶点为A(4,1,3),B(7,7,6),C(5,4,1),D(6,3,5)，求它的体积。
解：由已知得AB(3,6,3),AC(1,3,?2),AD(2,2,2)，
则四面体的体积为以AB,AC,AD为棱的平行六面体的16， ……（3分）
即 V?16AB?AC?AD
312 ＝|632|
3?22 ＝3。 ……（6分） 3、已知两条直线方程分别为：
lx?5y?4z?1x?5y?2z?21:1??2?3,l2:1?k??5,
则k为何值时，l1,l2相交？
解：M1(5,?4,1),M2(5,2,2),v1(1,?2,3),v2(1,k,?5)
l1,l2相交的充要条件是M1M2,v1,v2共面，且v1//v2， ……（3分）
011 即 6?2k?0，且v1//v2，
13?5 k??50, 且此时v1//v2。 ……（6分） 4、求平面?1:2x?y?2z?1?0和?2:4x?2y?4z?7?0的距离。 解：从?1上任取一点M(x0,y0,z0)，即2x0?y0?2z0?1?0， 两平面间的距离即点M到?2的距离， ……（3分）
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装 订 装 线 订 线 内 不 要 答 题 毕业生就业指导课考核办法（教师版） ?d?4x0?2y0?4z0?742?(?2)2?(?4)2?32 。 ……（6分） 三、求过直线l1:x?12?y1?z?1且平行于直线lxyz?12:2?1??2的平面方程。（10分）
解：设所求平面为?，
?过点(1,0,0)，且与v1(2,1,?1),v2(2,1,?2)平行， ……（3分）
x?122所以，所求平面为y11?0， ……（6分）
z?1?2即 x?2y?1?0 。 ……（10分）
四、在直角坐标系下，求通过点(2,?1,3)，平行于平面?:x?2y?z?2?0且垂直于直线lxy?2z?31:3??2?4的直线方程。（10分） 解：设所求直线的一个方向向量为v(X,Y,Z)，
则 ??X?2Y?Z?0,?3X?2Y?4Z?0, ……（4分）
?X??3Z,解得 ???4 取Z?8，则 X??6,Y?7 ， ……（8分）
???Y?78Z, 故所求直线为 x?2?6?y?17?z?38。 ……（10分） 2五、求曲线??x?y?0绕直线x?y?z?x?z121旋转生成的旋转面的方程。（14分）
解：点M(x,y,z)在旋转面上 ? 点M(x,y,z)在母线上经过M0(x0,y0,z0)的纬圆上 ……（2分）
??x20?y0,即 ??x0?z0?0,?x22?z2222 ……（7分） 0?y00?x?y?z,??(x?x0)?2(y?y0)?(z?z0)?0,消去x0,y0,z0为
???x422220?2x0?x?y?z,??x?2y?z?2x2 0, 即 [12(x?2y?z)]2?(x?2y?z)?x2?y2?z2， ……（12分）
所以，所求旋转面的方程为
3x2?3z2?4xy?2xz?4yz?4x?8y?4z?0 。 ……（14分）
x2六、求单叶双曲面9?y2z24?16?1上过点(3,2,?4)的直母线方程。（12分）
x2y2z2解： 9?4?16?1的两族直母线为
??(x?z)??(1?y)?0,??(x?z)??(1?y)?0, ???342 和 ???342y ……（6分）????(1?y2)??(x3?z4)?0,????(1?2)??(x3?z4)?0,将(3,2,?4)分别代入得
??0和 ????， ……（10分）分别带回得，经过点(3,2,?4)的直母线方程分别为
??4x?3z?0, 和 ??y?2?0,?4x?6y?3z?12?0,?4x?6y?3z?12?0. ……（12分）
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装 订 装 线 订 线 内 不 要 答 题 毕业生就业指导课考核办法（教师版）七、在平面右手直角坐标系中，椭圆长、半短轴分别在直线l1:x?y?2?0和
l2:x?y?0上，且长半轴为2，短半轴为1，求椭圆方程。（15分）
解：设已知坐标系为Ⅰ，
??x?y?2?0,?0, 解得x??1,y?1， ……（2分） ?x?y建立坐标系Ⅱ：[O';e'1,e'2]，
lx?21?y1 ，取O' 的Ⅰ坐标为(?1,1)，e'(11为2,11:2)， 则e'12为(?2,12)， ……（6分） ??x?1x'?1y'?1Ⅰ到Ⅱ点的坐标变换公式为：??22,? ……（8分）
??y?112x'?2y'?1,??x'?1x?1y,Ⅱ到Ⅰ点的坐标变换公式为：??22?y'??1x?1 ……（10分）??22y?2,在坐标系Ⅱ中，椭圆的方程为：x'2?y'24?1， ……（12分） 则在坐标系Ⅰ中，椭圆的方程为
(1x?1y)2
221124?(?2x?2y?2)?1
即 5x2?5y2?6xy?16x?16y?8?0 。 ……（15分）
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东北大学秦皇岛分校2008年解析几何期末考试题(含答案)
