《椭圆及其标准方程》教案设计
学校：黑龙江省依安县职教中心学校
姓名：于洪伟
一、教案背景
由于职高学生来源的多元性、入学动因的复杂性和功利性、德智基础的浅薄性，致使他们对文化课的学习尤其是数学这个公式繁多概念复杂的学科没有太多的积极性，我们的教学应逐步以数学为工具解决具体工作中的实际问题作为课程总目标，在设计课的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动性。本节课我就以此为主体思想进行教学。
二、教学课题
1、通过查找资料，了解实际生活中更多的椭圆形状的物体。 2、通过亲手绘制，让学生更明确椭圆中变量与定量的关系，进而推导标准方程。 3、通过小组学习，培养学生勇于探索、敢于创新的精神；体验数与形对立统一的辩证唯物主义思想。
三、教材分析
（一）教材的地位和作用
在此之前，学生已学习了圆的定义和圆的标准方程，初步掌握了求二次曲线方程的基本步骤，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节的内容也为后面学习双曲线和抛物线打下基础，它起着承上启下的作用，同时学习本节内容有利于培养 学生的数形结合思想、转化思想和类比思想，有利于提高学生的思维能力，因此本节内容既是本章的重点，也是教材的重点。
（二）教学目标
1、知识目标：理解椭圆的定义及有关概念；明确椭圆的标准方程的形式，能
区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；掌握椭圆的标准方程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程。
2、能力目标：培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和待
定系数法等数学思想方法的渗透，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。
3、情感目标：鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲
望；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；体验数与形对立统一的辩证唯物主义思想。
（三）教学重点、难点
重点：椭圆的标准方程及定义
难点：椭圆标准方程的推导
四、教学方法
自主探究法、观察发现法、小组学习法及多媒体教学、互联网搜索法
五、教学过程
1、创设情景、引入概念
你能举出生活中的椭圆吗？ 【百度搜索】 http://image.http://m.diyifanwen.net//i?ct=503316480&z=0&tn=baiduimagedetail&word=í??2D?&in=17322&cl=2&lm=-1&st=&pn=7&rn=1&di=35135390145&ln=1999&fr=ala0&fm=rs3&fmq=1332161043640_R&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=&is=&istype=2#pn69&-1&di89252996775&objURLhttp://img1.taojapan.com/c/lib/recommendo/8132d-01.jpg&fromURLhttp://www.taojapan.com/item/recommendo/ab-8132d.htm&W425&H312&T7828&S20&TPjpg
【百度搜索】http://news.sina.com.cn/c/p/2008-09-26/150516363701.shtml （神舟七号运行轨迹图） 【百度搜索】
http://image.http://m.diyifanwen.net//i?tn=baiduimage&ct=201326592&lm=-1&cl=2&fr=ala0&word=???eò?o???DD1ì?￡í? （嫦娥一号运行轨迹图）
我们知道，圆是点的轨迹，是平面上到一个定点距离等于定长的点的轨迹。那么椭圆是满足什么几何条件的点的轨迹呢？
我们先做一个试验：找两个图钉，一根无弹性的细绳，一块小黑板，将图钉按在黑板的一条线上，将绳的两端分别固定在两个图钉下，再用一支笔把绳子拉紧，再沿着绳子移动粉笔笔，一定要保持绳子绷紧。画好上面半个后，把绳子拉到下面用同样的方法就可以了（注意图钉之间的距离要小于绳长）。
观察作图过程，请同学们想一想：移动的粉笔尖（动点）满足怎样的几何条件？你能根据画图过程给椭圆下定义吗？
（由学生给出椭圆定义）：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
（如果学生回答了大于，就要表扬，说明他想问题很深刻，接着就问他，若等于会怎么样，小于呢？如果学生没有想到，提出问题：这个动点和两定点的距离的大小要限定吗？就启发学生利用三角形两边之和大于第三边）
a．常数要大于 ∣F1F2∣。
b．常数小于或等于∣F1F2∣时，无轨迹或一条线段.
这两个定点叫做椭圆的焦点。两焦点间的距离叫做焦距。 【百度搜索】
http://image.http://m.diyifanwen.net//i?tn=baiduimage&ct=201326592&lm=-1&cl=2&fr=ala1&word=í??2μ??-·¨ （尺规画法）
http://image.http://m.diyifanwen.net//i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=?????úèí?t?-í??2μ?í?&in=4858&cl=2&lm=-1&st=-1&pn=0&rn=1&di=46636471005&ln=1974&fr=ala1&fm=ala1&fmq=1332166751265_R&ic=0&s=0&se=1&sme=0&tab=&width=&height=&face=0&is=&istype=2#pn10&-1&di908304225&objURLhttp://img2.pconline.com.cn/pconline/0810/11/1442266_image008.jpg&fromURLhttp://hi.http://m.diyifanwen.net//sina7982/blog/item/f17e930837071e3ae92488ff.html&W500&H772&T10808&S68&TPjpg （计算机软件画法） 2、根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程：
设平面上的两个定点F1、F2的距离等于2c,曲线上的任意一点到两定点F1、F2的距离之和为常数2a,(其中2a>2c),求这个曲线的方程？
a、 建立适当的直角坐标系。以两焦点的连线的中点为坐标原点，两定点的连线作为x轴，
过原点做x轴的垂线为y轴。设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.
b. 由椭圆定义，椭圆就是集合
P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝ c.因为∣MF1∣=(x?c)2?y2 ∣MF2∣=(x?c)2?y2 所以得：(x?c)2?y2+(x?c)2?y2=2a
d.整理得：（a2－c2）x2+a2y2=a2(a2－c2).
由椭圆的定义可知：2a＞2c，即a＞c，故a2－c2＞0.
x2y2令a－c=b，其中b＞0，代入上式整理得：2?2?1(a?b?0)
ab2
2
2
椭圆的标准方程：
x2y2形式一：2?2?1(a?b?0)
ab说明：此方程表示椭圆焦点在x轴上，焦点F1（－c，0）、F2（c，0），（c2=a2
－b2.）
y2x2形式二：2?2?1(a?b?0)说明：此方程表示椭圆焦点在y轴上，焦点
abF1（－c，0）、F2（c，0），（c2=a2－b2.）
比较：①两种形式中，总有a>b>0；
②两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上；
③a、b、c始终满足c2=a2－b2；
④遇到形如Ax2+By2=C，只要A、B、C同号，就是椭圆方程，推导 例题解析：
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（-3／2，5／2）。 例2 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹的方程。（教师讲解并板书） 课堂练习：
x2y2??1上一点P到一个焦点的距离为5，1.椭圆则P到另一个焦点距离（ ）259 A.5 B.6 C.4 D.10
x2y2??1的焦点坐标是( ) 2.椭圆
25169A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)
x2y2??1,那么它的焦距是（ ） 3已知椭圆方程为
2011A.6 B.3 C.331 D.31
x2y2??1的左右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△4.椭圆
167ABF2的周长为 （ ）A.32 B.16 C.8 D.4
?x2y2??1表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈ （ ） 5.设α∈(0,)，方程
2sin?cos?A.(0,
??????] B.(,) C.(0,) D.［,］ 442442（学生分小组完成，以竞赛的形式及抢答的方式）
（学习拓展：椭圆形建筑物的设计方法及其建筑物）
【百度搜索】学习拓展：椭圆形建筑物的设计方法及其建筑物 http://www.patent-cn.com/E04H/CN1500955.shtml 三、作业：典型题目，供学习参考巩固
【百度搜索】http://wenku.http://m.diyifanwen.net//view/7e68131a10a6f524ccbf8581.html 【百度搜索】椭圆高考题
http://www.jyeoo.com/math2/report/detail/2befe0cf-7abb-48ed-a4cf-fba5c25eeec8
六、板书设计
椭圆及其标准方程
1、椭圆的定义 3、例题解析
平面内与两个定点F1、F2的 例1求适合下列条件的椭圆的标准距离的和等于常数（大于|F1F2|） （1）
距离的和等于常数（大于|F1F2|） （2） 的点的轨迹叫做椭圆。
2、椭圆的方程及推导 例2 平面内两个定点的距离是
8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹的方程。
x2y2形式一：2?2?1(a?b?0)
aby2x2形式二：2?2?1(a?b?0)
ab
七、教学反思：
著名教育学家布鲁纳说过：“知识的获得是一个主动过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者。”因此在教学活动中要力求给学生提供活动的时空，倡导自主探索、合作交流、动手实践等学习方式，努力体现学生的主体地位，让学生积极参与到知识和技能的获取过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力。因此在创设情景引入课题中，我引用用了当下最热门的话题---“神州七号”运行轨迹， “嫦娥一号”绕月工程等图片，这样能引起学生的兴趣，实践中也证明了这一点。在引入中还让学生回顾圆的定义，这里用的是教材中的探究，接下来是通过观察图形得出椭圆的定义，在这一过程中，应注重学生自主探究得出定义，这一点很重要。得出定义之后，接下来就是方程的推导，这是本节课的一个难点，在这里要注意引导学生在碰到有两个根号的情况下应将根号一边放一个，在这之前学生还是不懂的，因为他们以前只碰到一个根号，接下来就是两边平方，这一过程要注重学生的参与，如果在实际操作中时间来不及，可以让学生课后自己动手推导。方程得出之后，让大家思考方程的特点给出椭圆标准方程的定义。接下来让学生思考还有其他形式的标准方程，经过教学之后，现在觉得这一过程一定要注重学生动手实践，自己得出方程，当然这只能在课后推导。这样一节课的任务也就基本完成了，针对新课程标准中对知识的发生的过程提出了较高的要求的情况，在这一节课中我觉得这一点还是有做到的，有重视学生对问题的探究能力。
数学中任何知识的形成都体现出它的思想与方法，如何让学生领悟其中的思想，运用其中的方法去学习新的知识，是非常重要的。通过这节课的准备，让我
感到上好一节课很不容易，让我觉得“一节好课不是一天，一个月的准备，可能需要一辈子。”思想深处的东西是需要点滴的积累。这节课后，从自身上也有看到很多欠缺：语言的精炼，基本功的扎实，深入学生的思维等。同时我发现根据学生的思维水平，思维层次有些环节应设计的更细，梯度要更小。学生的思维能力不强，说明平时教学训练还不到位，因此以后要尽量加强学生在课堂教学过程中的训练。今后我还要继续努力学习，探索教学方法，不断成长！
八、教师简介
学校：黑龙江省齐齐哈尔市依安县职教中心学校 姓名：于洪伟 科目：数学
通信地址：黑龙江省依安县职教中心学校 邮编：161500
依安县职教中心学校于洪伟
