高中数学复习——数列通项公式的十种求法及
相应题目
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、公式法
例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得
an?1an3an?1an3，则???n?，故数列n?1nn?1222222aa123是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，{n}??122n212a331n{a}得n，所以数列的通项公式为?1?(n?1)a?(n?)2。 nnn2222评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为
an?1an3?n?，n?1222a说明数列{n}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
2nan3，进而求出数列{an}的通项公式。 ?1?(n?1)n22二、累加法
例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]??(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)??2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2
所以数列{an}的通项公式为an?n2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为
an?1?an?2n?1，进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1，
即得数列{an}的通项公式。
例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
2
解：由an?1?an?2?3n?1得an?1?an?2?3n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)??2(3n?1?3n?2?3(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?32?1)?(2?31?1)?3?32?31)?(n?1)?3
所以an?3n?n?1.
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3n?1转化为
an?1?an?2?3n?1，进而求出
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公
式。
例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3n?1，得则
an?1an21， ???3n?13n33n?1an?1an21，故 ???3n?13n33n?1ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?n?3)?nnn?2n?233an?1an?1333?(a2a1a1?1)?2333
212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)??(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2??2)?13333331n?1(1?3)an2(n?1)3n2n11因此n?， ??1???331?3322?3n211则an??n?3n??3n?.
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高中数学复习——数列通项公式的十种求法及相应题目
