分析：
根据面积比等于相似比的平方，可得出
=，=，再由平行线的性质可得出==，
==，从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为1：2，面积比为1：4，先利用等底三角形的面
积之比等于高之比可求出第一个及第二个阴影部分的面积，再由相似比为1：2可求出面积小于2011的阴影部分的个数．
解答： 解：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，
∴
=
=，
=
=，
又∵A1B1∥A2B2∥A3B3， ∴
=
=
=，
=
=，
∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3
继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4… 又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4， ∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，
继而可推出S△A3B3A4=8，S△A，4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，
故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个． 故答案是：；6．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质，解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观察图形，得出规律．
10．你见过像可以化简，如
考点： 二次根式的性质与化简．
22
分析： 因为5=2+3=（）+（），且2
简得出答案即可．
解答：
解：=
，，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式
．请用上述方法化简：
=
．
=2××，由此把原式改为完全平方式，进一步因式分解，化=
=
+
．
故答案为：+．
点评： 此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时
参考后面的二次根号里面的数值．
11．不等式组
考点： 一元一次不等式组的整数解．
有六个整数解，则a的取值范围为 ＜a≤ ．
分析： 先求出不等式组的解集，再根据整数解有六个得到关于a的不等式组，然后解不等式组即可求解． 解答：
解：解不等式组，得﹣4＜x≤5﹣4a．
由题意，知此不等式组的六个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， 则2≤5﹣4a＜3，解得＜a≤． 故答案为＜a≤．
点评： 本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x=﹣1时，突发奇想：x=﹣1在实数范围
222
内无解，如果存在一个数i，使i=﹣1，那么若x=﹣1，则x=±i，从而x=±i是方程x=﹣1的两个根．据此可知：
3220112
①i可以运算，例如：i=i?i=﹣1×i=﹣i，则i= ﹣i． ，②方程x﹣2x+2=0的两根为 1±i． （根用i表示）
考点： 一元二次方程的应用． 专题： 新定义．
1234
分析： （1）根据题中规律可知i=1，i=﹣1，i=﹣i，i=1，可以看出4个一次循环，可以此求解．
22
（2）把方程x﹣2x+2=0变形为（x﹣1）=﹣1，根据题目规律和平方根的定义可求解．
2011502×4+3
解答： 解：（1）i=i=﹣i．
2
（2）x﹣2x+2=0
2
（x﹣1）=﹣1 x﹣1=±i
x=1+i或x=1﹣i．
故答案为：﹣i；1±i．
点评： 本题考查了用配方法解一元二次方程以及找出题目中的规律，从而求得解．
13．（2013?日照）如右图，直线AB交双曲线
于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴
22
于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为 8 ．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题： 压轴题． 分析：
过A作AN⊥OC于N，求出ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），得出B（2a，b），根据三角形AOC的面积求
出ab=8，把B的坐标代入即可求出答案．
解答： 解：过A作AN⊥OC于N，
∵BM⊥OC
∴AN∥BM，
∵，B为AC中点， ∴MN=MC， ∵OM=2MC， ∴ON=MN=CM，
设A的坐标是（a，b）， 则B（2a，b）， ∵S△OAC=12． ∴?3a?b=12， ∴ab=8， ∵B在y=上， ∴k=2a?b=ab=8， 故答案为：8．
点评： 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题和三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力．
三．解答题（共7小题）
14．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：
（1）甲校选手所得分数的中位数是 90分 ，乙校选手所得分数的众数是 80分 ； （2）请补全条形统计图；
（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．
考点： 条形统计图；扇形统计图；中位数；众数；列表法与树状图法．
分析： （1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，根据甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等，可得出方
程，解出x的值，继而可得出甲校选手所得分数的中位数，及乙校选手所得分数的众数；
（2）列出树状图后，求解即可得出所选两位选手来自同一学校的概率．
解答： 解：（1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，
由题意得，x=（x+2+3+5）×
，
解得：x=2，即获得100分的人数有2人．
故可得甲校选手所得分数的中位数是90分；乙校选手所得分数的众数80分．
（2）
则两位选手来自同一学校的概率=
=．
点评： 本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，要求同学们有一定的读图能力，能在条形统计图及扇形统计
图中得到解题需要用到的信息，有一定难度．
15．（2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|=
=
=
=
；
2
2
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求b﹣4ac的值；
2
（2）当△ABC为等边三角形时，求b﹣4ac的值．
2
2
考点： 抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根
据本题定理和结论，得到AB=解方程即可求出b﹣4ac的值；
2
，根据顶点坐标公式，得到CE=||=，列出方程，
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=AE=，据此列出方程，解方程即可求出b﹣
2
4ac的值．
解答： 解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b﹣4ac＞0，则|b﹣4ac|=b﹣4ac． ∵a＞0，∴AB=
，
2
2
2
又∵CE=||=，
∴，
∴，
∴
2
，
∵b﹣4ac＞0，
2
∴b﹣4ac=4；
（2）当△ABC为等边三角形时， 由（1）可知CE=
，
∴
∵b﹣4ac＞0，
2
∴b﹣4ac=12．
2
，
点评： 本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较
强，难度中等．
自主招生数学试题
