自主招生数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题） 1．（2011?随州）已知函数
A． 0 B． 1
考点： 二次函数的图象． 专题： 压轴题；数形结合． 分析：
首先在坐标系中画出已知函数
，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ） C． 2
D． 3
的图象，利用数形结合的方法即可找到使
y=k成立的x值恰好有三个的k值．
解答：
解：函数
的图象如图：
根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个， ∴k=3． 故选D．
点评： 此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找
交点的问题．
2．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么
=（ ）
A． 2a B． 2x C． ﹣2a D． ﹣2x
考点： 二次根式的性质与化简；绝对值；完全平方公式；含绝对值符号的一元一次方程． 专题： 计算题．
分析： 由绝对值的定义可知，一个数的绝对值要么等于它本身，要么等于它的相反数，根据已知条件|x﹣a|=a﹣
|x|，得出|x|=x且x≤a．再根据完全平方公式及二次根式的性质
类项即可得出结果．
解答： 解：∵|x﹣a|=a﹣|x|，
∴|x|=x且x≤a． ∴a﹣x＞0，a+x＞0．
=|a|进行化简，最后去括号、合并同
∴=
﹣
=|a﹣x|﹣|a+x| =a﹣x﹣（a+x） =a﹣x﹣a﹣x =﹣2x． 故选D．
点评： 本题考查了绝对值的定义，完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的化简及整式的加减运算，难度中
等，其中根据绝对值的定义，结合已知条件得出|x|=x且x≤a是解题的关键．
3．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（ ） A． 1999 B． 2000 C． 2001 D． 不能确定
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 将已知等式右边化简，两边比较系数可知a、b、c的值，再计算式子的值． 解答：
解：∵==，
∴a+b+c=， ∴a=0，b=1，c=1， 2a+999b+1001c=2000． 故选B．
点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键．
4．（2013?莒南县一模）如图，两个反比例函数y=
和y=
（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和
C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A． k1+k2
B． k1﹣k2
C． k1?k2
D．
考点： 反比例函数系数k的几何意义． 专题： 压轴题；数形结合． 分析：
四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数
中k的
几何意义，其面积为k1﹣k2．
解答： 解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣SOBD﹣SOAC，
由反比例函数
中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．
故选B．
点评：
主要考查了反比例函数
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，
是经常考查的一个知识点．
5．（2012?南开区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（ ）
A． （2010，2） C． （2012，﹣2） D． （0，2）
考点： 坐标与图形变化-旋转；等腰梯形的性质． 专题： 规律型．
分析： 由P、A两点坐标可知，点P绕点A旋转180°得点P1，即为直线PA与x轴的交点，依此类推，点P2为直
B． （2010，﹣2）
线P1B与y轴的交点，由此发现一般规律．
解答： 解：由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，﹣2）．
记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2．
根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2）．
令P6（a6，b2），
同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2）， 由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标为（2010，﹣2）． 故选B．
点评： 本题考查了旋转变换的规律．关键是根据等腰梯形，点的坐标的特殊性，寻找一般规律． 6．（2013?荆门）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义． 专题： 压轴题．
分析： 首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然
后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．
解答： 解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA?cos45°=∴BD=OB﹣OD=1﹣
，
×1=，
∴AB==，
∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°，AC=2， ∴sinC=故选B．
．
点评： 此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合
思想的应用．
二．填空题（共7小题）
7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且
，则ax+bx+cx+1的值是 1 ．
3
2
考点： 代数式求值；绝对值． 专题： 计算题．
分析： 由三个数a、b、c的积为负数，可知三数中只有一个是负数，或三个都是负数；又三数的和为正，故a、b、
c中只有一个是负数，根据对称轮换式的性质，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，求x的值即可．
解答： 解：∵abc＜0，
∴a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数； 又∵a+b+c＞0，
∴a、b、c中只有一个是负数． 不妨设a＜0，b＞0，c＞0， 则ab＜0，ac＜0，bc＞0， x=﹣1+1+1﹣1﹣1+1=0， 当x=0时，
ax+bx+cx+1=0a+0b+0c=0+1=1． 故本题答案为1．
点评：
观察代数式
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，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的
代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论．有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质．
8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是 6 ．
考点： 面积及等积变换． 分析： 先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4（1+x），又四边形ABCD是正方形，
那么
AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S△BEF：S△DAF=（），E是
2
BC中点可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，进而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．
解答： 解：如右图，设△BEF的面积是x，
∵E是BC中点，
∴S△DBE=S△DCE， ∴S△BCD=2（1+x）， ∴S正方形=4（1+x），
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴S△BEF：S△DAF=（∵E是BC中点， ∴BE=CE，
∴BE：AD=1：2，
∴S△DAF=4x， ∵S△ABE=S△BED， ∴S△ABF=S△DEF=1，
∴S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x， ∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x， 解得x=0.5，
∴S正方形=4（1+x）=4（1+0.5）=6．
），
2
点评： 本题考查了面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质，解题的关键是找出正方形面积的两种表示方式．
9．（2013?沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为
；面积小于2011的阴影三角形共有 6 个．
考点： 相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．
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