第3讲 抛物线
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________． 11解析 分两类a>0，a<0可得y＝12x2，y＝－36x2. 11
答案 y＝12x2或y＝－36x2
2．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
解析 由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y. 答案 x2＝12y
3．(2014·济宁模拟)已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p的值为________．
解析 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线?p?的距离为3－?－2?＝4，解得p＝2.
??答案 2
4．(2013·四川卷改编)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是________． 解析 由抛物线方程知2p＝8?p＝4，故焦点F(2,0)，由点到直线的距离公式|2－3×0|知，F到直线x－3y＝0的距离d＝＝1.
1＋3答案 1
x2y2
5．(2014·潍坊一模)已知抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线4－5＝1的右焦
2
点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，则A点的横坐标为________．
p?p?
，0??解析 抛物线的焦点为2，准线为x＝－2.双曲线的右焦点为(3,0)，所以??p2
＝3，即p＝6，即y＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝2|AF|2
＝2|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3. 答案 3
6．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.
根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3. 答案 3
7．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为________．
→→
解析 法一 由|AF|＝3|BF|，得AF＝3FB，而F点坐标为(1,0)，设B(x0，y0)，??1－xA＝3?x0－1?，则?从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)，因为点A，B??－yA＝3y0，
2??y0＝4x0，12都在抛物线上，所以?解得x0＝，y0＝±，所以kl
323???－3y0?＝4?4－3x0?，
＝y0－0x0－1
＝±3. 则过点F的直线方程为y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)．
2p112
法二 结合焦点弦公式|AB|＝sin2θ及|FA|＋|FB|＝p求解，设直线AB的倾斜角
|AF|11211
为θ，由题意知p＝2，F(1,0)，|BF|＝3，又|FA|＋|FB|＝p，∴3|BF|＋|BF|＝1， 416
∴|BF|＝3，|AF|＝4，∴|AB|＝3.
2p164
又由抛物线焦点弦公式：|AB|＝sin2θ，∴3＝sin2θ， 33
∴sin2θ＝4，∴sin θ＝2，∴k＝tan θ＝±3. 答案 y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)
8．(2012·陕西卷)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米．
答案 26 二、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值． 解 法一 根据已知条件，抛物线方程可设为
?p?
y2＝－2px(p＞0)，则焦点F?－2，0?.
??∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5， ?m2＝6p，
?故?p?2?
－3＋??＋m2＝5， ?2???
?p＝4，?p＝4，
解得? 或?
?m＝26?m＝－26.∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±26.
p
法二 设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝2，由抛物线定义，p
M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有2－(－3)＝5，∴p＝4. ∴所求抛物线方程为y2＝－8x， 又∵点M(－3，m)在抛物线上， 故m2＝(－8)×(－3)， ∴m＝±26.
10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点． (1)设l的斜率为1，求|AB|的大小； →→(2)求证：OA·OB是一个定值．
(1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，
?y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?2
?y＝4x得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8. (2)证明 设直线l的方程为x＝ky＋1，
?x＝ky＋1，由?2得y2－4ky－4＝0，∴y＝4k＋2k2＋1 ?y＝4x∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，
→→
OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)． →→∵OA·OB＝x1x2＋y1y2 ＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3. →→∴OA·OB是一个定值．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
x2y221．已知双曲线C1：b>0)的离心率为2.若抛物线Cx＝2py(p>0)2：2－2＝1(a>0，ab的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________． x2y2
解析 ∵a2－b2＝1的离心率为2，
22
cc2a＋bb
∴a＝2，即a2＝a2＝4，∴a＝3. p?x2y2b?
x＝2py的焦点坐标为?0，2?，a2－b2＝1的渐近线方程为y＝±ax，即y＝±3??
2
x.由题意，得
p
21＋?3?
2
＝2，
∴p＝8.故C2：x2＝16y. 答案 x2＝16y
2．(2014·洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与
创新设计高考数学苏教理一轮题组训练：抛物线
