习题 A组（P113）
1、解：设P(x,y)，R(x1,y1)
uuuruuur 则RA?(1,0)?(x1,y1)?(1?x1,?y1)，AP?(x,y)?(1,0)?(x?1,0)
uuuruuur?x1??2x?3 由RA?2AP得(1?x1,?y1)?2(x?1,y)，即?
y??2y?1 代入直线l的方程得y?2x. 所以，点P的轨迹方程为y?2x. 2、解：（1）易知，?OFD∽?OBC，DF?所以BO?1BC, 22BF. 3uuuruuuruuur2uuurr21rrr1rrAO?BO?BA?BF?a?(b?a)?a?(a?b)
3323uuur1rr（2）因为AE?(a?b)
2uuur2uuurAO所以AO?AE，因此A,O,E三点共线，而且?2
3OEBOCOAOBOCO同理可知：?2,?2，所以???2
OFODOEOFODruuruur3、解：（1）v?vB?vA?(?2,7)；
ruurv?vA13ruur （2）v在vA方向上的投影为uur?.
5vAururuuuruurur4、解：设F1，F2的合力为F，F与F1的夹角为?，
（第2题）
（第4题）
uruuruuruur则F?3?1，??30?； F3?3?1，F3与F1的夹角为150°.
习题 B组（P113）
uuruuruur1、解：设v0在水平方向的速度大小为vx，竖直方向的速度的大小为vy，
uuruuruuruur则vx?v0cos?，vy?v0sin?.
设在时刻t时的上升高度为h，抛掷距离为s，则
uur1?h?vtsin??gt,(g为重力加速度)0?2 ?uur?s?v0tcos??所以，最大高度为
uur22v0sin?2g，最大投掷距离为
uur2v0sin2?g.
uruuruurrr2、解：设v1与v2的夹角为?，合速度为v，v2与v的夹角为?，行驶距离为d.
rurvv1sin?10sin?0.5d1?则sin??，d?. ∴r?. ?rrsin?20sin?20sin?vvv所以当??90?，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,?1)
uuuruuur 解：设P(x,y)，则AP?(x?1,y?2). AB?(2,?22).
uuuruuur7?将AB绕点A沿顺时针方向旋转到AP，相当于沿逆时针方向旋转?到
44uuurAP，
uuur7777于是AP?(2cos??22sin?,2sin??22cos?)?(?1,?3)
4444所以? （2）y???x?1??1，解得x?0,y??1
y?2??3?3 2xuuur? 解：设曲线C上任一点P的坐标为(x,y)，OP绕O逆时针旋转后，点P的坐
4标为(x?,y?)
?????x?xcos?ysin?x?????44则?，即??y???y??xsin??ycos???44??2(x?y)2
2(x?y)2113又因为x?2?y?2?3，所以(x?y)2?(x?y)2?3，化简得y??
222x第二章 复习参考题A组（P118）
1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.
2、（1）D； （2）B； （3）D； （4）C； （5）D； （6）B.
uuur1rruuur1rr3、AB?(a?b)，AD?(a?b)
22uuuruuuruuuruuur2r1r4、略解：DE?BA?MA?MB??a?b
33uuur2r2ruuur1r1rAD?a?b，BC?a?b
3333uuuruuuruuur1r2r1r1rEF??a?b，FA?DC?a?b
3333（第4题）
uuurr2r1r1r2ruuuCD??a?b，AB?a?b
3333uuurrrCE??a?b
uuuruuur5、（1）AB?(8,?8)，AB?82；
uuuruuuruuuruuur （2）OC?(2,?16)，OD?(?8,8)； （3）OA?OB?33.
ruuuruuu6、AB与CD共线.
uuuruuuruuuruuurruuuruuu 证明：因为AB?(1,?1)，CD?(1,?1)，所以AB?CD. 所以AB与CD共线.
7、D(?2,0). 8、n?2. 9、???1,??0.
3410、cosA?,cosB?0,cosC?
55rururrururrurur211、证明：(2n?m)?m?2n?m?m?2cos60??1?0，所以(2n?m)?m. rrrr51912、???1. 13、a?b?13，a?b?1. 14、cos??,cos??
820第二章 复习参考题B组（P119）
1、（1）A； （2）D； （3）B； （4）C； （5）C； （6）C； （7）
D.
rrrrrr2、证明：先证a?b?a?b?a?b.
rrrrr2r2rr a?b?(a?b)2?a?b?2a?brrrr2a?b?(a?b)?r2r2rra?b?2a?b.
r2r2rra?b?a?b.
，
rrrrrr 因为a?b，所以a?b?0，于是a?b?rrrrrr 再证a?b?a?b?a?b.
rrr2rrr2rrr2rrr2 由于a?b?a?2a?b?b，a?b?a?2a?b?b rrrrrrrr 由a?b?a?b可得a?b?0，于是a?b
rrrrrr 所以a?b?a?b?a?b. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 rrrur3、证明：先证a?b?c?d
rurrrrrr2r2 c?d?(a?b)?(a?b)?a?b
（第3题）
rurrurrr 又a?b，所以c?d?0，所以c?d
rurrr 再证c?d?a?b.
rrrrr2r2rurrur 由c?d得c?d?0，即(a?b)?(a?b)?a?b?0
rr 所以a?b 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所
示】
uuuruuuruuuruuur1rruuur1r1r4、AD?AB?BC?CD?a?b，AE?a?b
242uuur3ruuuur1ruuuuruuuruuuur1r1r1r1rr 而EF?a，EM?a，所以AM?AE?EM?a?b?a?(a?b)
444242uuuruuuruuuuruuuruuuuruuurr5、证明：如图所示，OD?OP1?OP2，由于OP1?OP2?OP3?0，
uuuruuuruuur所以OP3??OD，OD?1
uuuruuuruuur所以OD?OP 1?PD1所以?OPP12?30?，同理可得?OPP13?30?
（第5题）
所以?P3PP12?60?，同理可得?PP12P3?60?，?P2P3P1?60?，所以?PP12P3为
正三角形.
6、连接AB.
由对称性可知，AB是?SMN的中位线，MN?2AB?2b?2a. 7、（1）实际前进速度大小为42?(43)2?8（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为42千米／时，
6的方向前进. 3uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（第6题）
8、解：因为OA?OB?OB?OC，所以OB?(OA?OC)?0，所以OB?CA?0
uuuuruuurrr沿与水流方向成90??arccosuuuruuuruuuruuur 同理，OA?BC?0，OC?AB?0，所以点O是?ABC的垂心.
9、（1）a2x?a1y?a1y0?a2x0?0； （2）垂直；
（3）当A1B2?A2B1?0时，l1∥l2；当A1A2?B1B2?0时，l1?l2，
夹角?的余弦cos??A1A2?B1B2A?B2121A2?B222；
（4）d?
Ax0?By0?CA?B22
第三章 三角恒等变换
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）
???1、cos(??)?coscos??sinsin??0?cos??1?sin??sin?.
222 cos(2???)?cos2?cos??sin2?sin??1?cos??0?sin??cos?.
343?2、解：由cos???,??(,?)，得sin??1?cos2??1?(?)2?；
5552???23242 所以cos(??)?coscos??sinsin??. ?(?)???4442525103、解：由sin??15815，?是第二象限角，得cos???1?sin2???1?()2??；
171717???81153?8?153 所以cos(??)?cos?cos?sin?sin?????. ?333172172342523?4、解：由sin???,??(?,)，得cos???1?sin2???1?(?)2??；
33323733?又由cos??,??(,2?)，得sin???1?cos2???1?()2??.
4442 所
3572?35?27. cos(???)?cos?cos??sin?sin???(?)?(?)?(?)?434312练习（P131）
以
1、（1）6?26?26?2； （2）； （3）； （4）2?3. 444343?2、解：由cos???,??(,?)，得sin??1?cos2??1?(?)2?；
5552???41334?33 所以sin(??)?sin?cos?cos?sin???(?)?. ?3335252103、解：由sin???12512，得cos???1?sin2???1?(?)2??； ?是第三象限角，
131313
人教版高中数学必修4课后习题答案
