线性脉冲系统的稳定性分析
周旺旺 方建安
【摘 要】【摘 要】对线性脉冲系统进行稳定性分析，首先是通过运用半张量积方法给出基于逻辑判断的线性脉冲系统的表达式，然后利用稳定性的判别方法，得到了该系统稳定的充分条件，接着运用定义和引理来对其进行证明，再给出数值例子，通过仿真来说明结果的有效性。 【期刊名称】《科技视界》 【年(卷),期】2019(000)031 【总页数】4
【关键词】【关键词】脉冲系统；稳定性；半张量积；逻辑判断
0 引言
在发展变化过程中， 自然界中的许多事物常常因受到短暂时间的干扰而发生快速的变化， 如种群动力学中的动物的季节繁殖， 渔业养殖与森林管理中的投放、种植、收获等，在这些过程的数学模拟中，这段发生快速变化的持续时间常常会被忽略， 然后假设这个过程是瞬间完成的， 这种瞬时突变现象通常被称为脉冲现象， 其数学模型通常可归结为脉冲微分系统。 在实际应用中我们总是希望， 在受到外来干扰不太大时， 系统能够在经过一个过渡过程后恢复到原来的平衡状态，这样，我们才能更好地控制系统，使其大体地可以按照预测的结果进行下去。 例如， 对于发射宇宙探测器， 若不能在受到一定范围内的干扰后依然可以回归到原有轨道， 那它的任务将不能完成， 还有很多诸如此类的例子。 鉴于脉冲系统在科技领域发挥着越来越重要的作用， 这方面的研究引起很多学者专家的关注与重视。 脉冲微分方程理论最早是由Millman 和Myshkis 在20
世纪六十年开创性的提出来的[1]，成了数学界的一个新的分支，在接下来的20 年，它也经过了不断发展[2]，1989 年，首次出版的关于脉冲微分系统的著 作“Theory
of
Impulsive
Differential
Equations”
是
由
V.Lakshimikantham[3]等人对这些进行了系统的总结所完成的。 文献[4]给出了系统平衡点和稳定性的定义，文献[5-6]中程代展教授提出了半张量积这一定理，使矩阵乘法不再局限于传统矩阵维数的要求，这样的话，任意两矩阵都可以相乘。 之后，程代展教授等人将半张量积应用到逻辑系统中，将一个逻辑函数转化为等价矩阵、向量乘积的代数表达形式，从而解决了逻辑表达式的计算和处理问题，对逻辑处理给予了很大的帮助。 文献[7]中范数的相关理论，用于构造辅助系统，使后面定理的验证得以实现。
脉冲系统的研究已经日趋成熟， 于是我对线性脉冲系统的性质进行了具体的探究， 所研究的线性脉冲系统具体可描述为
其中A、B、C 均为n 阶矩阵，tk 为第k 次脉冲发生 的 时 刻，x(t) 和 Δx(t) 都为n维向量：x(t)=(x1,x2,关 于 脉 冲时 间 序 列，我 们 假 定0 ＜t1 ＜t2 ＜…＜tk＜，且 当 k →∞时，tk →∞。 当t=tk 时，脉冲时刻的差值通过有关 时刻的状态变量的逻辑函数从两种备选方案中判断选出。
1 线性脉冲系统稳定性分析
1.1 预备知识
下面介绍一些定义、引理及符号，是后面的证明及验证过程所要用到的。 对于向量表示x 的欧几里得范数。 对于实对称矩阵A，λmax(A)(λmin(A))表示A 的最大（最小）特征值。Rowi(A)(Coli(A))表示矩阵A 的第i 行（列），Row(A)(Col(A))表示矩阵A 所有（行）列的集合。
为了方便后续的研究，对于逻辑值，我们定义如下等价的向量表达形式： T=1 ～ =[1 0]T，F=0 ～ =[0 1]T，其 中，是 单位 矩 阵Ik 的 第i 列。 令|i=1，2，…，k}，则 其 表示单位矩阵所有列的集合。 接着，我们给出如下定义和引理：
定 义1 [5]：如 果 矩 阵L ∈Rm×n 满 足Col(L)?Δm，则我们称L 为逻辑矩阵。 我们将所有m×n 逻辑矩阵组成的集合表示为Lm×n。
定义2 [7]：矩阵Kronecker 积符号为“?”，对任意两个 矩 阵 A =(aij)m ×n ∈Rm ×n，B =(bij)p ×q ∈Rp ×q， 它 们 的Kronecker 积为： 定义3 [7]：
其中‖·‖表示矩阵的诱导范数，A 是正数阶矩阵，I是单位矩阵。
引理3[7]：根据μ(A)的定义，可得对于线性微分方程=Ax(t)，状态变量x(t)满足：
定义4[6]：对于两个矩阵A ∈Rm×n，B ∈Rp×q，A 与B的半张量积为 A ∝B=(A ?Iα/n)(B ?Iα/p)，
其中，α=lcm(n,p)是n 与p 的最小公倍数。
下面这个引理揭示了如何将一个逻辑函数转换为等价矩阵、 向量乘积的代数表达形式， 用于后面的理论探究。
引理4[6]：f(p1,p2,…,pr)∈Δ2 是一个逻辑函数，其中p1,p2,…,pr ∈Δ2 是 逻 辑 变 量，则 存 在 唯 一 一 个2×2r 的矩阵Mf∈Lm×n 使得
其中，Col(Mf)?Δ2，而且值得注意的是我们称矩阵Mf 为逻辑函数f 的结构矩阵。 需要注意的是，引理2 中的逻辑函数f(p1,p2,…,pr)∈Δ2 是一个二维向量[1 0]T 或[1 0]T，若逻辑函数的值最终表达为“1”或“0”的标量值时，引理
线性脉冲系统的稳定性分析
