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值范围证明专题训练理新人教版-2019最新整理
【选题明细表】
知识点、方法 最值问题 范围问题 证明问题 题号 1,3,5 2 4,6,7 1.(2017·鹰潭市一模)设椭圆C1:+=1(a>b>0),长轴的右端点与抛物
线C2:y2=8x的焦点F重合,且椭圆C1的离心率是.(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)过F作直线l交抛物线C2于A,B两点,过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C,求△ABC面积的最小值,以及取到最小值时直线l的方程.
解:(1)因为椭圆C1: +=1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x
的焦点F(2,0)重合,所以a=2.
又因为椭圆C1的离心率是,所以c=,所以b=1,所以椭圆C1的标准方程为+y2=1.
(2)过点F(2,0)的直线l的方程设为x=my+2, 设A(x1,y1),B(x2,y2).
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联立得y2-8my-16=0,所以y1+y2=8m,y1y2=-16, 所以|AB|==8(1+m2).
过F且与直线l垂直的直线设为y=-m(x-2),
联立得
(1+4m2)x2-16m2x+16m2-4=0,
所以xC×2=,所以xC=,所以|CF|=|xC-xF|=·,△ABC面积S=|AB|·|CF|=·.令=t≥1,则S=f(t)=,f′(t)=,
令f′(t)=0,则t2=0(舍去)或t2=,即1+m2=时,△ABC面积最小. 即当m=±时,△ABC面积的最小值为9,此时直线l的方程为x=±y+2.
2.(2017·赣州市、吉安市、抚州市七校联考)已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率e=,右顶点、上顶点分别为A,B,直线AB被圆O:x2+y2=1截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M,=λ
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(+),若点N在圆O上,求正实数λ的取值范围.解:(1)由e=,得e2===,所以a=2b,
所以直线AB的方程为+=1,即x+2y-2b=0.
由题意知圆心O(0,0)到直线AB的距离为d==,得b=1,椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设点M的坐标为(x0,y0)(x0≠0),则点N的坐标为(λx0,λ(y0+1)),
所以λ2[+(y0+1)2]=1,得λ2=.又+=1,所以λ2=,y0∈(-1,1),
所以-3+2y0+5=-3(y0-)2+∈(0,],得λ2≥,所以正实数λ的取值范围是[,+∞).
3.(2017·桂林市、崇左市联合调研)已知点B(1,0),A是圆C: (x+1)2+y2=20上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P. (1)求动点P的轨迹C1的方程;
(2)设M(0,),N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值. 解:(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,
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