习 题 一
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A?‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A?‘两次点数之和为10’，B?‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A?‘球的最小号码为1’；
（4）将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A?‘甲盒中至少有一球’；
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A?‘通过汽车不足5台’，B?‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）S?{e1,e2,e3,e4,e5,e6}其中ei?‘出现i点’
i?1,2,L,6，
A?{e1,e3,e5}。
（2）S?{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； A?{(4,6),(5,5),(6,4)}； B?{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}。 （
3
）
S?{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)
(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}
A?{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}
（
4
）
S?{(ab,?,?),(?,ab,?),(?,?,ab),(a,b,?),(a,?,b),(b,a,?),
(b,?,a),(?,a,b,),(?,b,a)}，其中‘?’表示空盒；
A?{(ab,?,?),(a,b,?),(a,?,b),(b,a,?),(b,?,a)}。
（5）S?{0,1,2,L},A?{0,1,2,3,4},B?{3,4,L}。 2．设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：
·1·
（1）仅A发生；
（2）A,B,C中至少有两个发生； （3）A,B,C中不多于两个发生； （4）A,B,C中恰有两个发生； （5）A,B,C中至多有一个发生。 解 （1）ABC
（2）ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC； （
3
）
AUBUC或
ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC；
（4）ABCUABCUABC；
（5）ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC； 3．一个工人生产了三件产品，以Ai(i?1,2,3)表示第i件产品是正品，试用Ai表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解 （1）A1A2A3；（2）A1UA2UA3；（3）
A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3；（4）A1A2UA1A3UA2A3。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
·2·
解 设A?‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则
P(A)?P410126104?250?0.504
5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A?‘5只全是好的’，则
P(A)?C537C5B0.662；
40 （2）设B?‘5只中有两只坏的’，则
P(B)?C23 3C37C5B0.0354. 40 6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求
（1）3个球的最小号码为5的概率； （2）3个球的最大号码为5的概率. 解 （1）设A?‘最小号码为5’，则
P(A)?C251C3?；
1012 （2）设B?‘最大号码为5’，则
P(B)?C241C3?.
1020 7．（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
解 （1）设A?‘他们的生日都不相同’，则
P(A)?Pr365365r； （2）设B?‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
P(B)?C21P22232C14C1211?C4C12?C4P12?1241124?96； 或
P(B)?1?P(B)?1?P41241124?96.
8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率. 解 设A?‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
P(A)?C27(26?2)76?0.01107. 9．将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？ 解1 设A?‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：
字母C在7个位置中占两个位置，共有C27种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有C25种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为
C27?C25?3!?1260，而A中的基本事件只有一个，故
P(A)?1C2?C2?11260；
75?3! 解2 七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n1个，第二种元素有n2个…，第k种元素有nk个(n1?n2?L?nk?n)，将这n个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为
n!n，
1!n2!Lnk!·3·
对于本题有
P(A)?1417!?7!?1260. 2!2! 10．从0,1,2,L,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：A1?‘三个数字中不含0和5’，A2?‘三个数字中不含0或5’，A3?‘三个数字中含0但不含5’.
3 解 P(AC871)?C3?15.
10333 P(AC9982)?C3?CC3?C3?141010C1015， 或
P(AC18142)?1?P(A2)?1?C3?，
1015 P(AC2873)?C3?1030. 11．将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A?‘每堆各成一双’的概率.
解 n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共
·4·
(2n)!2!2!L2!?(2n)!(2!)n‘每堆各成一双’共有n!种情况，故 A)?2nP(?n!(2n)!
12．设事件A与B互不相容，P(A)?0.4,P(B)?0.3，
求P(AB)与P(AUB)
解 P(AB)?1?P(AUB)?1?P(A)?P(B)?0.3 因为A,B不相容，所以A?B，于是 P(AUB)?P(A)?0.6
13．若P(AB)?P(AB)且P(A)?P，求P(B). 解 P(AB)?1?P(AUB)?1?P(A)?P(B)?P(AB) 由P(AB)?P(AB)得
P(B)?1?P(A)?1?p
14．设事件A,B及AUB的概率分别为p,q,r，求P(AB)及P(AUB)
解 P(AB)?P(A)?P(B)?P(AUB)?p?q?r
P(AUB)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?1?P(B)?P(A)?P(AB)
?1?q?p?q?r?1?p?r.
15．设P(A)?P(B)?0.7，且A,B仅发生一个的概率为0.5，求A,B都发生的概率。 解1 由题意有
0.5?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB) ?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) ?0.7?2P(AB)， 所以
P(AB)?0.1.
解2 A,B仅发生一个可表示为AUB?AB，故
0.5?P(AUB)?P(AB)?P(A)?P(B)?2P(AB),
所以
P(AB)?0.1.
16．设P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,P(B?A)?0.2，求
P(AB)与P(AB).
解 0.3?P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.7?P(AB)， 所以
P(AB)?0.4， 故
P(AB)?0.6；
0.2?P(B)?P(AB)?P(B)?0.4. 所以
P(B)?0.6
P(AB)?1?P(AUB)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?0.1
17．设AB?C，试证明P(A)?P(B)?P(C)?1 [证] 因为AB?C，所以
P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(AUB)?P(A)?P(B)?1
故
P(A)?P(B)?P(C)?1. 证毕.
18．对任意三事件A,B,C，试证
P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A).
[
证
] P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)
?P(ABUAC)?P{A(BUC)}?P(A). 证毕. 19
．
设
A,B,C是三个事件，且
P(A)?P(B)?P(C)?14,P(AB)?P(BC)?0，P(AC)?18，求
·5·
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
