2019-2020年高考数学二轮复习第一部分专题七选考内容教学案文
[考情分析] 1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用． 2．全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用． 考点一 极坐标方程及其应用
[典例感悟]
[典例1] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
?π?(2)设点A的极坐标为?2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
3??
[解] (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
cos θ
由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
π??π?13???S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·?sin?α－??＝2sin?2α－?－≤2＋3. 2
2
2
??3???3?
2
π
当α＝－时，S取得最大值2＋3.
12所以△OAB面积的最大值为2＋3.
[方法技巧]
1．求曲线的极坐标方程的一般思路
曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．
2．解决极坐标交点问题的一般思路
一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标．
[演练冲关]
1．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy??x＝acos t，
中，曲线C1的参数方程为?
??y＝1＋asin t，
(t为
参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在
C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x＋(y－1)＝a，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ－2ρsin θ＋1－a＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
??ρ－2ρsin θ＋1－a＝0，
?
?ρ＝4cos θ.?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
若ρ≠0，由方程组得16cosθ－8sin θcos θ＋1－a＝0， 由已知tan θ＝2， 即sin θ＝2cos θ，
可得16cosθ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a＝1.
考点二 参数方程及其应用
[典例感悟]
[典例2] (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C??x＝a＋4t，(θ为参数)，直线l的参数方程为?
?y＝1－t?
??x＝3cos θ，
的参数方程为?
?y＝sin θ?
22
(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a. [解] (1)曲线C的普通方程为＋y＝1.
9
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，
x2
2
?
由?x22
＋y＝1??9
?x＋4y－3＝0，
??x＝3，
解得?
??y＝0
21
x＝－，??25或?24
y＝??25.
2124
从而C与l的交点坐标为(3,0)，－，. 2525(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0， 故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为
d＝
＝
|3cos θ＋4sin θ－a－4|
17θ＋φ
17
－a－4|
?0<φ<π，tan φ＝3?. ??24??
当a≥－4时，d的最大值为由题设得a＋9
17
，
a＋9
17
＝17，解得a＝8；
－a＋1
， 17
当a＜－4时，d的最大值为
－a＋1
由题设得＝17，解得a＝－16.
17综上，a＝8或a＝－16.
[方法技巧]
参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用
(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．
(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．
[演练冲关]
?x＝2＋t，?
2．已知曲线C：＋＝1，直线l：?
49??y＝2－2tx2y2
(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
??x＝2cos θ，
解：(1)曲线C的参数方程为?
?y＝3sin θ?
(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝
5
|4cos θ＋3sin θ－6|. 5
d254
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝. sin 30°53
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为
225
. 5
25
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
5
考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用
[典例感悟]
[典例3] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy??x＝2＋t，
中，直线l1的参数方程为?
?y＝kt?
(tx＝－2＋m，??
为参数)，直线l2的参数方程为?my＝??k时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解] (1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 1
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
ky＝kx－??
设P(x，y)，由题设得?1
y＝x＋??k消去k得x－y＝4(y≠0)．
2
2
，
所以C的普通方程为x－y＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立
2
2
2
22
?ρ
??ρ
22
θ－sinθ
2
＝4，
θ＋sin θ－2＝0
19122
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，从而cosθ＝，sinθ＝.31010
代入ρ(cosθ－sinθ)＝4得ρ＝5，
所以交点M的极径为5.
[方法技巧]
解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法
(1)在参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先将其化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
[演练冲关]
3．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C??x＝2cos α，
的参数方程为?
??y＝2＋2sin α
2222
(α为
3
?x＝3－t，?2
参数)，直线l的参数方程为?
1y＝3＋t??2
2
(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极
?π?坐标为(23，θ)，其中θ∈?，π?. ?2?
(1)求θ的值；
(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值． 解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x＋(y－2)＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲线C的极坐标方程为
(ρcos θ)＋(ρsin θ－2)＝4，即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝∵θ∈?
3
， 2
2
2
2
?π，π?，
??2?
2π∴θ＝.
3
(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋3y－43＝0， ∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0. 2π
又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，
3
2019-2020年高考数学二轮复习第一部分专题七选考内容教学案文
