(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．
2．利用极坐标系解决问题的技巧
(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．
[提醒] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．
[题组训练]
??x＝cos φ，
1．(2024·青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?(其中φ
?y＝1＋sin φ?
为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
ππ
θ＋?＝2，射线OM：θ＝与圆C的交点为P，与直线(2)设直线l的极坐标方程是ρsin??3?6l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)圆C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ. π
(2)把θ＝代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，
6π
把θ＝代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2，
6所以|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1.
2．(2024·湖北八校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝
9
，以极点为平面
cos2 θ＋9sin2 θ
直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
11
(2)A，B为曲线C上两点，若OA⊥OB，求＋的值． 2
|OA||OB|292222
解：(1)由ρ2＝22得ρcosθ＋9ρsinθ＝9， cosθ＋9sinθ
x22
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得到曲线C的直角坐标方程是＋y＝1.
9(2)因为
ρ2＝
91cos2θ
，所以2＝＋sin2θ，
ρ9cos2θ＋9sin2θ
πρ2，α±?， 由OA⊥OB，设A(ρ1，α)，则点B的坐标可设为?2??1111cos2αsin2α1102
所以＋＝2＋2＝＋sinα＋＋cos2α＝＋1＝. 22|OA||OB|ρ1ρ29999
[课时跟踪检测]
π
θ＋?＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 1．在极坐标系中，求直线ρcos??6?π
θ＋?＝1化为直角坐标方程为3x－y＝2， 解：ρcos??6?即y＝3x－2.
ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y， 把y＝3x－2代入x2＋y2＝4y， 得4x2－83x＋12＝0， 即(x－3)2＝0， 所以x＝3，y＝1.
π
2，?. 所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为??6?ππ3
2，?，圆心为直线ρsin?θ－?＝－与极轴2．在极坐标系中，已知圆C经过点P?4???3?2的交点，求圆C的极坐标方程．
π3
θ－?＝－中，令θ＝0，得ρ＝1， 解：在ρsin??3?2所以圆C的圆心坐标为(1,0)． π
2，?， 因为圆C经过点P?4??所以圆C的半径|PC|＝
π?2?2＋12－2×1×2cos＝1，于是圆C过极点，
4
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
3．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
π
(2)直线OP：θ＝(ρ∈R)与圆C交于点M，N，求线段MN的长．
6解：(1)(x－3)2＋(y＋1)2＝9可化为x2＋y2－23x＋2y－5＝0，
故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. π
(2)将θ＝代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，
6得ρ2－2ρ－5＝0，
所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5， 所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝26.
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极π
θ－?＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点． 坐标方程为ρcos??3?(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． π13
θ－?＝1得ρ?cos θ＋sin θ?＝1. 解：(1)由ρcos??3?2?2?13
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋3y＝2.
22当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)． π2323π?当θ＝时，ρ＝，所以N?.
23?3，2?23?(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为?0，.
3??所以点P的直角坐标为?1，
?
3?23π?，则点P的极坐标为?， 3??3，6?π
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
6
5．(2024·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－3)2＋(y－2)2
＝4，直线C2的方程为y＝3
x，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 3
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值． 解：(1)∵曲线C1的普通方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4， 即x2＋y2－23x－4y＋3＝0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直线C2的方程为y＝
3
x， 3
π
∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
6(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，
π
将θ＝(ρ∈R)代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0，
6得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.
6．(2024·山西八校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
ππ
(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB
63的面积．
解：(1)∵曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25， 即x2＋y2－6x－8y＝0.
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. ππρ1，?，B?ρ2，?. (2)设A?6?3???
π
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，
6π
4＋33，?. ∴A?6??
π
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，
3π
3＋43，?. ∴B?3??1
∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB
2ππ?1
＝(4＋33)(3＋43)sin??3－6? 2253＝12＋. 4
??x＝tcos α，
7．在直角坐标系xOy中，曲线C1：?(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以
?y＝tsin α?
O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0， 曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.
?x2＋y2－2y＝0，联立?22
?x＋y－23x＝0，
??x＝0，解得?
?y＝0?
?x＝23，或?3
y＝?2.
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和?
33?.
?2，2?(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α)．
?α－π??. 所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4?sin??3??
5π
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
6
8．(2024·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0，曲线C2的方程为y2＝x，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.
??x＝ρcos θ，解：(1)依题意，将?代入x2＋y2＋2x－4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.
?y＝ρsin θ???x＝ρcos θ，
将?代入y2＝x，得ρsin2θ＝cos θ. ??y＝ρsin θ
故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝cos θ. (2)将y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1，x＝－4(舍去)， 当x＝1时，y＝±1，所以曲线C1与C2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记A(1,1)，B(1，－1)，
所以ρA＝1＋1＝2，ρB＝1＋1＝2，tan θA＝1，tan θB＝－1， 因为ρ≥0,0≤θ<2π，点A在第一象限，点B在第四象限，
π7ππ7π
2，?，?2，?. 所以θA＝，θB＝，故曲线C1与C2交点的极坐标分别为?4??4??44
2024年高考数学一轮复习考点与题型总结：选修4-4 坐标系与参数方程
