解四边形专题
东城区
21．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE= AB，连接DE，AC. （1）求证：四边形ACDE为平行四边形; （2）连接CE交AD于点O. 若AC=AB=3，cosB?
21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD， ∴AB=DC，AB∥DC. ∵AB=AE，
∴AE=DC，AE∥DC.
∴四边形ACDE为平行四边形. -------------------2分 (2) ∵AB=AC， ∴AE=AC.
∴平行四边形ACDE为菱形. ∴AD⊥CE.
1，求线段CE的长. 3∵AD∥BC， ∴BC⊥CE.
在Rt△EBC中，BE=6, cosB?∴BC=2.
根据勾股定理，求得BC=42.----------------------5分
BC1?, BE3西城区
21．如图，在△ABD中，?ABD??ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O． （1）补全图形，求?AOB的度数并说明理由;
3（2）若AB?5，cos?ABD?，求BD的长．
5BA
D
【解析】（1）补全的图形如图所示．?AOB?90?． 证明：由题意可知BC?AB，DC?AB， ∵在△ABD中，?ABD??ADB， ∴AB?AD，
∴BC?DC?AD?AB，
∴四边形ABCD为菱形， ∴AC?BD， ∴?AOB?90?．
（2）∵四边形ABCD为菱形， ∴OB?OD．
3在Rt△ABO中，?AOB?90?，AB?5，cos?ABD?，
5∴OB?AB?cos?ABD?3， ∴BD?2OB?6．
BAODC
海淀区
21．如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE = CD. （1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD = 2，则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形AOBE的面积取得最大值是_______.
COBEA
D
21．（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形. ………………1分 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC?AB. ∵OE?CD, ∴OE?AB.
∴平行四边形AEBO是矩形. ………………2分 ∴?BOA?90?. ∴AC?BD.
∴平行四边形ABCD是菱形. ………………3分 (2) 正方形； ………………4分
2. ………………5分
丰台区
21．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF = BA，BE = BC，连接AE，EF，
FC，CA．
（1）求证：四边形AEFC为矩形； （2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，
AB = 4，求DE的长．
DCBF
1）证明：∵BF=BA，BE=BC，
∴四边形AEFC为平行四边形. ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC. ∴BE=BF.
∴BA + BF = BC + BE，即AF=EC.
∴四边形AEFC为矩形. （2）解：连接DB.
由（1）知，AD∥EB，且AD=EB. ∴四边形AEBD为平行四边形 ∵DE⊥AB，
∴四边形AEBD为菱形.
∴AE?EB，AB?2AG，ED?2EG. ∵矩形ABCD中，EB?AB，AB=4，∴AG?2，AE?4. ∴Rt△AEG中，EG=23.
∴ED=43. （其他证法相应给分）
………………………1分 ………………………2分
4分 ………………………5分D
A C
G B E F
AE21．（ ………………………
2020-2021学年北京市各区九年级中考一模数学试卷精选汇编：解四边形专题及答案
