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北京大学数学系《高等代数》(第3版)(课后习题 线性变换)

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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第7章 线性变换

1.判别下面所定义的变换,哪些是线性的,哪些不是:(1)在线性空间V中,(2)在线性空间V中,(3)在P3中,(4)在P3中,(5)在P[x]中,(6)在P[x]中,

其中α∈V是一固定的向量;

ξ=α,其中α∈V是一固定的向量;

22(x1,x2,x3)=(x1,x2+x3,x3);

(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x2+x3,x1);f(x)=f(x+1);

f(x)=f(x0),其中x0∈P是一固定的数;

ξ=?;

(7)把复数域看作复数域上的线性空间,(8)在Pn×n中,

(X)=BXC,其中B,C∈Pn×n是两个固定的矩阵.

ξ=ξ,有

(ξ+η)=ξ+η=

(kξ)=kξ=k

ξ十ξ.

η,

解:(1)当α=0时,

故是线性变换.

当α≠0时,则有

(ξ+ξ)=

但这时

(ξ)+

(2ξ)=2ξ+α,

(ξ+ξ).

(ξ)=ξ+α+ξ+α=2ξ+2α≠

不是线性变换.

(2)当α=0时是线性变换.当α≠0时,

(0)=α≠0,故不是线性变换.

(3)计算下面式子.

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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台(2,1,1)=(4,2,1),(4,2,2)=(16,4,4)≠2

(2,1,1).

(2(2,1,1))=

不是线性变换.

(4)由

易知(x1+y1,x2+y2,x3+y3)=(x1,x2,x3)+

是线性变换

(y1,y2,y3)及

(kx1,kx2,kx3)=k(5)由于

(x1,x2,x3).故

(f+g)(x+1)=f(x+1)+g(x+1),

(kf)(x+1)=kf(x+1),

(f(x)+g(x))=

(f(x))+

(g(x)),

(kf(x))=k

是P[x]上线性变换.

(f(x)),

(6)由于

(f+g)(x0)=f(x0)+g(x0),

(kf)(x0)=kf(x0),

故有

(f(x)+g(x))=

(f(x))+

f(x)),

(g(x)),

kf(x))=k

是线性变换.

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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台(7)不是,例(8)是.

2.在几何空间中,取正交坐标系Oxyz.以旋转90°的变换,以

表示将空间绕Ox轴由Oy向Oz方向

表示绕Oz轴

表示绕Oy轴由Oz向Ox方向旋转90°的变换,以

由Ox向Oy方向旋转90°的变换.证明:

并检验是否成立.

解:取任意向量α=(x,y,z),则

于是有(1)

z),故有

同样有

(2)故

(3)故(4)

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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台,证明:

3.在P[x]中

证明:

4.设是线性变换,如果证明:

证明:对k作数学归纳法,k=2时,

结论成立.

设k=m时结论成立,即

于是

故k=m+1时结论也成立.于是对一切k>1,结论成立.完成了归纳法.

5.证明:可逆变换是双射.证明:设证明

为可逆变换,即有逆变换

同乘此式两边,则左=

是单射.对α,β,若有

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证明

圣才电子书 www.100xuexi.com,右=

十万种考研考证电子书、题库视频学习平台故α=β,即

是单射.

.故

是满射.对α,找β使

是满射.

既是单射,又是满射,因而是双射.

6.设ε1,ε2,…,εn是线性空间V的一组基,且仅当

证明:设

线性无关.

在基ε1,ε2,…,εn下的矩阵为A,

是V上的线性变换,证明可逆当

是线性无关的充要条件是秩(A)=n(前一章补充题

2).

可逆的充要条件是A可逆,即秩(A)=n(定理2).故

线

性无关的充要条件是A可逆.

另证,设A可逆,则是n维线性空间V的自同构.它把V的基ε1,ε2,…,εn变成V的基,故

是V的基,因而线性无关.

是n个线性无关的向量,故是V的基,V的任一元β是

的线性组合,

即都是某元在故

是可逆的.

变换下的像.即是满射.再由定理11的推论,知也是单射,

7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:(1)第1题(4)中变换

在基ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),

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北京大学数学系《高等代数》(第3版)(课后习题 线性变换)

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