圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第7章 线性变换
1.判别下面所定义的变换,哪些是线性的,哪些不是:(1)在线性空间V中,(2)在线性空间V中,(3)在P3中,(4)在P3中,(5)在P[x]中,(6)在P[x]中,
其中α∈V是一固定的向量;
ξ=α,其中α∈V是一固定的向量;
22(x1,x2,x3)=(x1,x2+x3,x3);
(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x2+x3,x1);f(x)=f(x+1);
f(x)=f(x0),其中x0∈P是一固定的数;
ξ=?;
(7)把复数域看作复数域上的线性空间,(8)在Pn×n中,
(X)=BXC,其中B,C∈Pn×n是两个固定的矩阵.
ξ=ξ,有
(ξ+η)=ξ+η=
(kξ)=kξ=k
ξ十ξ.
η,
解:(1)当α=0时,
故是线性变换.
当α≠0时,则有
(ξ+ξ)=
但这时
(ξ)+
(2ξ)=2ξ+α,
(ξ+ξ).
(ξ)=ξ+α+ξ+α=2ξ+2α≠
不是线性变换.
(2)当α=0时是线性变换.当α≠0时,
(0)=α≠0,故不是线性变换.
(3)计算下面式子.
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台(2,1,1)=(4,2,1),(4,2,2)=(16,4,4)≠2
(2,1,1).
(2(2,1,1))=
故
不是线性变换.
(4)由
易知(x1+y1,x2+y2,x3+y3)=(x1,x2,x3)+
是线性变换
(y1,y2,y3)及
(kx1,kx2,kx3)=k(5)由于
(x1,x2,x3).故
(f+g)(x+1)=f(x+1)+g(x+1),
(kf)(x+1)=kf(x+1),
知
(f(x)+g(x))=
(f(x))+
(g(x)),
(kf(x))=k
故
是P[x]上线性变换.
(f(x)),
(6)由于
(f+g)(x0)=f(x0)+g(x0),
(kf)(x0)=kf(x0),
故有
(f(x)+g(x))=
(f(x))+
f(x)),
(g(x)),
kf(x))=k
即
是线性变换.
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台(7)不是,例(8)是.
2.在几何空间中,取正交坐标系Oxyz.以旋转90°的变换,以
表示将空间绕Ox轴由Oy向Oz方向
表示绕Oz轴
表示绕Oy轴由Oz向Ox方向旋转90°的变换,以
由Ox向Oy方向旋转90°的变换.证明:
并检验是否成立.
解:取任意向量α=(x,y,z),则
于是有(1)
z),故有
同样有
(2)故
(3)故(4)
故
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台,证明:
3.在P[x]中
证明:
故
4.设是线性变换,如果证明:
证明:对k作数学归纳法,k=2时,
结论成立.
设k=m时结论成立,即
于是
故k=m+1时结论也成立.于是对一切k>1,结论成立.完成了归纳法.
5.证明:可逆变换是双射.证明:设证明
为可逆变换,即有逆变换
用
同乘此式两边,则左=
是单射.对α,β,若有
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证明
圣才电子书 www.100xuexi.com,右=
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台故α=β,即
是单射.
则
.故
是满射.对α,找β使
是满射.
既是单射,又是满射,因而是双射.
6.设ε1,ε2,…,εn是线性空间V的一组基,且仅当
证明:设
线性无关.
在基ε1,ε2,…,εn下的矩阵为A,
是V上的线性变换,证明可逆当
是线性无关的充要条件是秩(A)=n(前一章补充题
2).
可逆的充要条件是A可逆,即秩(A)=n(定理2).故
线
性无关的充要条件是A可逆.
另证,设A可逆,则是n维线性空间V的自同构.它把V的基ε1,ε2,…,εn变成V的基,故
设
是V的基,因而线性无关.
是n个线性无关的向量,故是V的基,V的任一元β是
的线性组合,
即都是某元在故
是可逆的.
变换下的像.即是满射.再由定理11的推论,知也是单射,
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:(1)第1题(4)中变换
在基ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),
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