高中文科数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设x1、x2?[a,b],x1?x2那么
f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是增函数; f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是减函数.
(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导,若f?(x)?0,则f(x)为增函数;若f?(x)?0,则f(x)为减
函数.
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的x,都有f(?x)?f(x),则f(x)是偶函数; 对于定义域内任意的x,都有f(?x)??f(x),则f(x)是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。 3、函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义
函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0),相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).
b4ac?b2b4ac?b2?1,);,) *二次函数: (1)顶点坐标为(?(2)焦点的坐标为(?2a4a2a4a4、几种常见函数的导数
'①C?0;②(x)?nxx'xn'n?1; ③(sinx)?cosx;④(cosx)??sinx;
x'''⑤(a)?alna;⑥(e)?e; ⑦(logax)?x'11';⑧(lnx)? xlnax5、导数的运算法则
u'u'v?uv'(v?0). (1)(u?v)?u?v. (2)(uv)?uv?uv. (3)()?vv2''''''6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数y?f?x?的极值的方法是:解方程f??x??0.当f??x0??0时: (1) 如果在x0附近的左侧f??x??0,右侧f??x??0,那么f?x0?是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧f??x??0,右侧f??x??0,那么f?x0?是极小值. 指数函数、对数函数
分数指数幂 (1)a(2)amn?nam(a?0,m,n?N?,且n?1).
?mn?1amn?1nam(a?0,m,n?N,且n?1).
?根式的性质
(1)当n为奇数时,a?a; 当n为偶数时,an?|a|??有理指数幂的运算性质
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nnn?a,a?0.
??a,a?0 (1) a?a?arsrrsrrrsr?s(a?0,r,s?Q). (2) (a)?a(a?0,r,s?Q). (3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q). p注: 若a>0,p是一个无理数,则a表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
.指数式与对数式的互化式: logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0). .对数的换底公式 :logaN? 对数恒等式:a推论 logambn?
常见的函数图象
yyylogmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
logmalogaN?N(a?0,且a?1, N?0).
nlogab(a?0,且a?1, N?0). myyk<0ok>0xoa<0x2-1o1y=x+-21xxy=ax01y=kx+ba>0o1a>1xy=ax2+bx+c
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式 sin2??cos2??1,tan?=sin?. cos?9、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
k???的正弦、余弦,等于?的同名函数,前面加上把?看成锐角时该函数的符号;
k???2??的正弦、余弦,等于?的余名函数,前面加上把?看成锐角时该函数的符号。
?1?sin?2k?????sin?,cos?2k?????cos?,tan?2k?????tan??k???. ?2?sin???????sin?,cos???????cos?,tan??????tan?. ?3?sin??????sin?,cos?????cos?,tan??????tan?. ?4?sin??????sin?,cos???????cos?,tan???????tan?.
口诀:函数名称不变,符号看象限. ?5?sin??????????cos?,cos?????sin??2??2??.?6?sin???????cos??2??,cos?????????sin?. ?2?口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
10、和角与差角公式 sin(???)?sin?cos??cos?sin?; cos(???)?cos?cos?msin?sin?; 第2页(共10页)
tan(???)?tan??tan?.
1mtan?tan?11、二倍角公式
sin2??sin?cos?.
cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.
2tan?. tan2??21?tan?1?cos2?2cos2??1?cos2?,cos2??;2公式变形:
1?cos2?2sin2??1?cos2?,sin2??;212、 函数y?sin(?x??)的图象变换
①的图象上所有点向左(右)平移?个单位长度,得到函数y?sin?x???的图象;再将函数y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1倍(纵坐标不变),得到函数y?sin??x???的图象;?再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的?倍(横坐标不变),得到函数
y??sin??x???的图象.
②数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1倍(纵坐标不变),得到函数 ?y?sin?x的图象;再将函数y?sin?x的图象上所有点向左(右)平移
?个单位长度,得到函数?y?sin??x???的图象;再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的?倍
(横坐标不变),得到函数y??sin??x???的图象. 13. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 质 函 数 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 R R ????xx?k??,k??? 2??值域 ??1,1? 当??1,1? ?k???当x?2k?R 既无最大值也无最小值 最值 x?2k???2?k???时, 第3页(共10页)
时,ymax?1;当ymax?1;当x?2k??? x?2k???2 ?k???时,ymin??1. ? 奇函数 ?k???时,ymin??1. 周期性 奇偶性 2? 2? 奇函数 偶函数 在????2k??,2k?? ??22??在?k???上是增函数;在 单调性 ?2k???,2k???k???上是增?2k?,2k???? 在?k?函数;在????2,k????? 2??3???2k??,2k?? ??22???k???上是减函数. ?k???上是增函数. ?k???上是减函数. 对称中心对称性 对称轴x?k?,0??k??? ?k???2对称中心?k??k??? ?????,0??k??? 2?对称中心?无对称轴 ?k??,0??k??? 2??对称轴x?k??k??? b a
14、辅助角公式
y?asinx?bcosx?a2?b2sin(x??) 其中tan??15.正弦定理 :
abc???2R(R为?ABC外接圆的半径). sinAsinBsinC?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC?a:b:c?sinA:sinB:sinC a2?b2?c2?2bccosA;b2?c2?a2?2cacosB;c2?a2?b2?2abcosC.
16.余弦定理 17.面积定理
111aha?bhb?chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高). 222111(2)S?absinC?bcsinA?casinB.
222(1)S?18、三角形内角和定理
在△ABC中,有A?B?C???C???(A?B)
?C?A?B???2C?2??2(A?B). 22219、a与b的数量积(或内积)
a?b?|a|?|b|cos?
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20、平面向量的坐标运算
uuuruuuruuur(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b=x1x2?y1y2. (3)设a=(x,y),则a?x2?y2
21、两向量的夹角公式
rra?bcos??rr?|a|?|b|设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b?0,则
x1x2?y1y222x12?y12?x2?y2rr(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
22、向量的平行与垂直
rrrr设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b?0 a//b?b??a ?x1y2?x2y1?0.
a?b(a?0) ?a?b?0?x1x2?y1y2?0.
rrrr(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1?x2,y1?y2).
rrrr(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1?x2,y1?y2).
uuuruuuruuur (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
rr(4)设a=(x,y),??R,则?a=(?x,?y).
rrrr(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2?y1y2.
*平面向量的坐标运算
三、数列
23、数列的通项公式与前n项的和的关系
n?1?s1,an??( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2?L?an).
s?s,n?2?nn?124、等差数列的通项公式
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*);
25、等差数列其前n项和公式为
sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n. 2222a1n?q(n?N*); q26、等比数列的通项公式
an?a1qn?1?27、等比数列前n项的和公式为
?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??1?qsn??1?q 或 sn??.
?na,q?1?na,q?1?1?1四、不等式
x?y?xy。必须满足一正(x,y都是正数)28、、二定(xy是定值或者x?y是定值)、三相等(x?y2第5页(共10页)
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