圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第9章 欧几里得空间
1．设A，B皆为n×n实对称矩阵，且互相交换，则它们有公共的特征向量作为欧氏空间Rn的标准正交基．
证明：设A的全部不同的特征值为λ1，λ2，…，λs，Rn中相应的特征子空间是V?1，V?2，…，V?s．由于A相似于对角形，故有
维（V?1）＋维（V?2）＋…＋维（V?s）＝n．
由AB＝BA及原书第七章习题25，V?1,V?2,L,V?S都是B的不变子空间．B是实对称
的，在Rn中对应了线性变换Z′Y）
这变换在Rn的自然内积（Z，Y的内积为
下是对称变换，于是在子空间V?i上仍是对称变换．因此限制在V?i上有一组特征向
量?i1,?i2,L,?i,ni为V?i的标准正交基，其中ni＝维（V?i）．它们属于A的特征子空间V?i，当然也是A的特征向量．即每个ξij都是A，B的公共特征向量．
又V?i与V?j是属于A的不同特征值，故V?i与V?j是相互正交的．于是ξij与ξlk当l≠i时互相正交．又?i1,?i2,L,?i,ni是V?i的标准正交基，当i＝l时，若k≠j，ξji与ξik也正交．这样{ξij，i＝1，2，…，s；j＝1，2，…，ni}是相互正交的，且长度为1，是标准正交向量组．又这组元素的数目为
n1＋n2＋…＋ns＝维（V?1）＋维（V?2）＋…＋维（V?s）＝n．
故它们组成Rn的标准正交基．这就完成了证明．
2．证明反对称实矩阵正交相似于准对角阵
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台其中bi是实数．
证明：设n×n反对称实矩阵A，它自然地对应于Rn中线性变换
它在Rn的自然内积（（Z，Y）＝Z′AY）下是反对称变换．第九章习题16证明了A的特征值为零或纯虚数．因此要证明能找到一组标准正交基使所述的形状
首先，若
有特征值为零，取特征子空间V0，并在V0中取一组标准正交基
的
在该基下矩阵有题目中
ξ01，ξ02，…，ξ0n．再取V1＝V0⊥．类似于欧氏空间中的对称变换，下面证V1也是不变子空间．对ξ∈V0⊥，及
．故
V0⊥≠{0}，则
，即
．因V0是不变子空间，．已证过有V＝V0?V0⊥．若
在V0⊥上有特征值≠0，必为某纯虚数ib1．设属于它的复特征向量为
Z1＋iY1，Z1Y1∈Rn．则A（Z1＋iY1）＝ib1（Z1＋iY1），即有AZ1＝－b1Y1，AY1＝bZ1．
我们来证明（Z1，Y1）＝0，实际上（Z1，Y1）＝
由于内积有（Z1，AZ1）＝（AZ1，Z1）．又由于A为反
对称（Z1，AZ1）＝－（AZ1，Z1），故
令
，则
限制在W1上，对于基ξ1，η1有矩阵
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台限制在W2上，
再看V0＋W1的正交子空间W2，它也是不变子空间．若它为零，
其特征值必为纯虚数．可继续上述过程．由于V是有限维的，有限步后停止．于是有
V＝V0＋W1＋W2＋…＋Ws，
是正交和．其中Wi＝L（ξi，ηi），ξi，ηi是Wi的标准正交基．将V0的基及VC各Wi
的基合起来得ξ01，…，?0n0，ξ1，η1，…，ξs，ηs就是V的标准正交基．在基ξ01，…，
．故
下的矩阵是零矩阵．
限制在V0上，
限制在各Wi上，在其基ξi，ηi下的矩阵是
在V的上述标准正交基下有所要形式的矩阵．
3．设S是非零的反对称实矩阵，则（1）|E＋S|>1，
（2）设A是正定阵，则|A＋S|>|A|．证明：（1）有正交阵T使
于是
|E＋S|＝|T-1||E＋S||T|＝|T-1（E＋S）T|
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最后的不等号是由于S≠O，至少有一个bi≠0．
（2）A正定，于是有可逆实矩阵C使A＝C′C．S是反对称，则S1＝（C-1）′SC-1仍反对称，且非零．于是
|E＋S1|>1．
|A＋S|＝|C′（E＋S1）C|＝|C′||C||E＋S1|
＝|A||E＋S1|>|A|．
4．设A是反对称矩阵，则（E－A）（E＋A）－1是正交阵．证明：（（E－A）（E＋A）－1）′（E－A）（E＋A）－1＝（E＋A′）－1（E－A′）（E－A）（E＋A）－1＝（E－A）－1（E＋A）（E－A）（E＋A）－1＝（E－A）－1（E－A）（E＋A）（E＋A）－1＝E．
同样可证（E－A）（E＋A）－1（（E－A）（E＋A）－-1）′＝E．故（E－A）（E＋A）
－1是正交矩阵．
5．已知n维欧氏空间V中n＋1个向量xi（i＝0，1，…，n）两两距离均为
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台δ>0．令ui＝xi－xn，i＝1，2，…，n．则
（1）
（2）u1，u2，…，un线性无关．
证明：（1）（uj，uj）＝（xj－x0，xi－x0）
（2）设有k1u1＋k2u2＋…＋knu2＝0．用u1与两端作内积，得k1（u1，u1）＋k2（u2，u1）＋…＋kn（un，u1）＝0，即为
0．
若逐次用u2，…，un与上式两端作内积，还可得
以上方程组只有惟一解k1＝k2＝…＝km＝0．故u1，u2，…un线性无关．
6．设A为n阶正定矩阵
正交，且
证明：
证明先证上式两端左乘
为n维欧几里得空间V中的列向量，若已知
．
这里
线性无关，设得
由则
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由A正定知则
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(章节题库 欧几里得空间)
