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一般形式的柯西不等式
课时提升作业
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2016·珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2
+b2
+c2
=10,x2
+y2
+z2
=40,
ax+by+cz=20,则= ( )
A.B.C.D. 【解析】选C.由已知得
(a2
+b2
+c2
)(x2
+y2
+z2
)=(ax+by+cz)2
,
结合柯西不等式,知===,所以
=.
2.已知x,y,z是非负实数,若9x2
+12y2
+5z2
=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是
( A.9 B.10
C.14
D.15
【解析】选A.因为(3x+6y+5z)2
≤[12
+()2
+(
)2]·[(3x)2
+(2
y)2
+(
z)2
]
=9(9x2+12y2+5z2
)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立. 故u=3x+6y+5z的最大值为9. 3.已知a2
+b2
+c2
=1,若a+b+
c≤|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是 ( )
A.x≥1或x≤-3 B.-3≤x≤1 C.x≥-1或x≤3D.-1≤x≤3
【解题指南】根据题目中的a2
+b2
+c2
=1和a+b+
c≤|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.
【解析】选A.由柯西不等式得:(a2
+b2
+c2
)(1+1+2)≥(a+b+c)2
,
所以a+b+
c≤2,又因为a+b+
c≤|x+1|,
所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3.
)
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二、填空题(每小题4分,共8分)
4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)+(y+2)+(z-3)的最小值为______. 【解析】因为[(x-1)+(y+2)+(z-3)](4+4+1) ≥(2x+2y+z-1)=81,
所以(x-1)+(y+2)+(z-3)≥9. 答案:9
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是________.
【解析】(a+b+c)=
[()+(
2
)+(
2
)]
2
≥
=(2+3+6)=121.
2
当且仅当==时等号成立. 答案:121 三、解答题
6.(10分)(2016·深圳高二检测)已知定义在R上的函数f(x)=p,q,r满足p+q+r=a.求证p+q+r≥3. 【证明】因为f(x)=即函数f(x)=所以p+q+r=3. 由柯西不等式得
(p+q+r)(1+1+1)≥(p+q+r)=9, 于是p+q+r≥3.
2
2
2
2
2
2
22
2
2
+的最小值为a,又正数
++
≥的最小值a=3.
=3,
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课时提升作业含解析新人教A版选修4_5
