湖南省 2019 年普通高等学校对口招生考试
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分4页，。共时量120分钟，满分120分。
一、选择题（本大题10共小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ， ，且 ，则
A.
解：
。选C。
B. C. D.
2．“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解：“
”时必有“
”，反之不然。选A。
3．过点
A.
解：
且与直线
B.
，故
平行的直线的方程是
C.
，即
D.
。选D。
4．函数
A.
解：∵单调，又
的值域为 B.
，即
C.
D.
，选B。
，∴
5．不等式
A.
解：方程
的解集是 B.
两根为
C.
D.
或
，开口向上，小于取中间，选C。
6．已知
A.
，且 为第二象限角，则
B.
C.
，
D.
。选D。
解： 为第二象限角，
7．已知 为圆
A.
解：如图，
上两点，为坐标原点，若 B.
，
，则
D.
。选B。
C.
，勾股定理，
，
8．函数 （ 为常数）的部分图象如下图所示，则
A.
解：最大值为
B.
，最小值为
，故
C.
，选A。
D.
9．下列命题中，正确的是 解：不多讲，选D。
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 垂直于同一个平面的两个平面平行
C. 若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则该直线与平面平行
D. 一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直
10．已知直线：
A.
解：∵过点
又
（ 为常数）经过点
B.
，即
，即
，则下列不等式一定成立的是
C.
D.
.
，
。选A。
，∴
，∴
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二、填空题（本大题5共个小题，每小题4分，共20分）
11．在一次射击比赛中，某运动员射次击的成绩如下表所示：
单次成绩（环） 7 8
9 10
次数
4
6
6
4
则该运动员成绩的平均数是
（环）。
解：
12．已知向量
，
，
，且
，则
。
解：∵
，∴
，∴
.
13．已知
的展开式中的系数为10，则
。
解：∵
。令
得. ∴
。
∴
，.
14．将
三个数分别加上相同的常，数使这三个数依次成等比数列，由
。
解：∵
，
，∴.
15．已知函数
为奇函数， 为偶函数，且
，则
。
解：∵
，又由奇偶性得： 。 ∴ .
三、解答题（本大题7共个小题，其中第21、22小题为选做题。满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
16、（本小题满分10分）
已知数列 为等差数列， ， 。 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，数列 的前项和为 ，求 。
解：（Ⅰ）设公差为，则 ，∴
.
∴数列 的通项公式为
.
（Ⅱ）∵ ，
∴
.
17、（本小题满分10分）
件产品中有件不合格品，每次取一件，有放回地取三次表。示用取到不合格品的次数。求：（Ⅰ）随机变量的分布列；
（Ⅱ）三次中至少有一次取到不合格品的概率。
解：（Ⅰ）有放回，每次取得不合格品的概率为，为伯努利概型。取三次，
∴随机变量服从二项分布，即 。 的所有可能取值为 。
∴
， ，
，
。
∴随机变量的分布列为：
（Ⅱ）三次中至少有一次取到不合格品的概率为
。
18、（本小题满分10分）
已知函数
.
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（Ⅰ）画出 的图象； （Ⅱ）若 ，求 的取值范围。
解：（Ⅰ）分别画出抛物线 和一次函数
（Ⅱ）∵
即
的图象， ， 。
然后保留对应取值的部分图象即得。如右图实线部分。
，∴ 或
或 或
∴ 或 ，即
.
∴ 的取值范围为.
19、（本小题满分10分）
如图，在三棱柱
（Ⅰ）证明： 平面 （Ⅱ）若直线 与平面
（Ⅰ）证：∵
又 底面 ， ∵ 和 是
中， 底面 ， ； 所成角为 ，求三棱柱
。
，
， 为 的中点。
的体积。
， 为 的中点，∴
平面
底面 ，∴
内两相交直线；
。
∴ 平面 。
（Ⅱ）解：连 . ∵ 平面 ，
∴ ，且 是 在平面 ∴ .
在 在 在
∴三棱柱
中， 中， 中，
的射影，
. ，∴
，∴
， ，
的体积
. .
.
20、（本小题满分10分）
已知椭圆：
.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点 ，直线
解：（Ⅰ）∵
，
，∴
.
∴椭圆的离心率
（Ⅱ）由
与椭圆交于
，∴
两点。求
，
的面积。
，
消去并整理得： .
设 两点的坐标分别为
，则由韦达定理可得：
，
又点 ∴
到直线 的面积
，∴
即
. 。
的距离
。
选做题：请考生在21第、22题中选择一题作答。如果两题都做，则按所做21的题第计分。作答时，请写清题号。21、（本小题满分10分）
如图，在直角三角形 中， ， ， ， 为 内一点， ，且 。 （Ⅰ）求 的长； （Ⅱ）求 的值。
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解：（Ⅰ）∵ 中，
∴ ，
∵
中，
∴ ， ∴ 中，
由余弦定理有： 即 （Ⅱ）
， 。
， 。
， ，
， ， ，
，
， 。
。
中，由正弦定理有：
22、（本小题满分10分）
某企业拟生产产品和产品。生产一件产品需要新型材料千克，用 个工时；生产一件产品需要新型材料千克，用个工时。生产一件产品的利润为 元，生产一件产品的利润为 元。现有新型材料200千克，
问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最值。
解：设生产件产品和 件产品时，企业获得的总利润元为，则：
约束条件为：
；
，求
，
。
目标函数为：
作出可行域，如图。 解
得
此时 （元）。
答：生产 件产品和 件产品时，企业可获得最大总利润，总利润的最大值为 元。
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2019年湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题(参考答案)
