2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的. 1.
1?2i? 1?2i43A.??i
55
43B.??i
55
34C.??i
55
34D.??i
552.已知集合A?A.9
??x,y?x
2?y2≤3,x?Z,y?Z,则A中元素的个数为
B.8
C.5
?D.4
ex?e?x3.函数f?x??的图像大致为
x2
4.已知向量a,b满足|a|?1,a?b??1,则a?(2a?b)?
A.4
D.0
B.3
C.2
x2y25.双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3,则其渐近线方程为
abA.y??2x
B.y??3x
C.y??32x x D.y??221 / 11
6.在△ABC中,cosA.42 7.为计算S?1?C5,BC?1,AC?5,则AB? ?25B.30 C.29 D.25 开始N?0,T?0i?1是1ii?100否11111???…??,设计了右侧的程序框23499100图,则在空白框中应填入 A.i?i?1 B.i?i?2 C.i?i?3 D.i?i?4
N?N?T?T?S?N?T输出S结束1i?18.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30?7?23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A.
1 12 D.
1 18 B.
1 14 C.
1 15
9.在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB?BC?1,AA1?3,则异面直线AD1与DB1所成角
的余弦值为 1A.
5
D. 2 2B.5 6 C.5 5
10.若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数,则a的最大值是
A.
π 4
D.π
B.
π 2 C.
3π 4
11.已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数,满足f(1?x)?f(1?x).若f(1)?2,则
f(1)?f(2)?f(3)?…?f(50)?
A.?50
D.50
B.0 C.2
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x2y212.已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在
ab过A且斜率为为 A.
2 33的直线上,△PF1F2为等腰三角形,?F1F2P?120?,则C的离心率6
D.
1 4 B.
1 2
1C.
3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.曲线y?2ln(x?1)在点(0,0)处的切线方程为__________.
?x?2y?5?0,?14.若x,y满足约束条件?x?2y?3?0, 则z?x?y的最大值为__________.
?x?5?0,?15.已知sinα?cosβ?1,cosα?sinβ?0,则sin(α?β)?__________. 16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为
7,SA与圆锥底面所成角为845°,若△SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考
题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.学科*网 (一)必考题:共60分。 17.(12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1??7,S3??15. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值. 18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
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为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回2,…,17)建立模归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,???30.4?13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为型①:y??99?17.5t. 1,,2…,7)建立模型②:y(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 19.(12分)
设抛物线C:y2?4x的焦点为F,过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|?8.
(1)求l的方程;学科&网
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 20.(12分)
如图,在三棱锥P?ABC中,AB?BC?22,PA?PB?PC?AC?4,O为AC的中点.
(1)证明:PO?平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M?PA?C为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
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P
OBMAC21.(12分)
已知函数f(x)?ex?ax2.
(1)若a?1,证明:当x?0时,f(x)?1; (2)若f(x)在(0,??)只有一个零点,求a.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的
第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
?x?2cosθ,xOy在直角坐标系中,曲线C的参数方程为?(θ为参数),直线l的参数
?y?4sinθ方程为
?x?1?tcosα,(t为参数). ?y?2?tsinα?(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|.
(1)当a?1时,求不等式f(x)?0的解集; (2)若f(x)?1,求a的取值范围.
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2018普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷2试题与答案
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