2024年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．
1?2i? 1?2i43A．??i
55
43B．??i
55
34C．??i
55
34D．??i
552．已知集合A?A．9
??x，y?x
2?y2≤3，x?Z，y?Z，则A中元素的个数为
B．8
C．5
?D．4
ex?e?x3．函数f?x??的图像大致为
x2
4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)?
A．4
D．0
B．3
C．2
x2y25．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为
abA．y??2x
B．y??3x
C．y??32x x D．y??221 / 11
6．在△ABC中，cosA．42 7．为计算S?1?C5，BC?1，AC?5，则AB? ?25B．30 C．29 D．25 开始N?0,T?0i?1是1ii?100否11111???…??，设计了右侧的程序框23499100图，则在空白框中应填入 A．i?i?1 B．i?i?2 C．i?i?3 D．i?i?4
N?N?T?T?S?N?T输出S结束1i?18．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A．
1 12 D．
1 18 B．
1 14 C．
1 15
9．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角
的余弦值为 1A．
5
D． 2 2B．5 6 C．5 5
10．若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，则a的最大值是
A．
π 4
D．π
B．
π 2 C．
3π 4
11．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，则
f(1)?f(2)?f(3)?…?f(50)?
A．?50
D．50
B．0 C．2
2 / 11
x2y212．已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在
ab过A且斜率为为 A．
2 33的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C的离心率6
D．
1 4 B．
1 2
1C．
3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线y?2ln(x?1)在点(0,0)处的切线方程为__________．
?x?2y?5?0，?14．若x,y满足约束条件?x?2y?3?0， 则z?x?y的最大值为__________．
?x?5?0，?15．已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin(α?β)?__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为
7，SA与圆锥底面所成角为845°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．学科*网 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
3 / 11
为了预测该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回2，…，17）建立模归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，???30.4?13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为型①：y??99?17.5t． 1，，2…，7）建立模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）
设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8．
（1）求l的方程；学科&网
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 20．（12分）
如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点．
（1）证明：PO?平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
4 / 11
P
OBMAC21．（12分）
已知函数f(x)?ex?ax2．
（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?2cosθ，xOy在直角坐标系中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数
?y?4sinθ方程为
?x?1?tcosα，（t为参数）． ?y?2?tsinα?（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．
（1）当a?1时，求不等式f(x)?0的解集； （2）若f(x)?1，求a的取值范围．
5 / 11
2024普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷2试题与答案
