考点测试2 命题及其关系、充分条件与必要条件
高考概览
高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度 1.理解命题的概念
2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系
3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义
一、基础小题
1．命题“若a＋b＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( ) A．若a＋b≠0，则a≠0且b≠0 B．若a＋b≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a＋b≠0 D．若a≠0或b≠0，则a＋b≠0 答案 D
解析 对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若a＋b＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a＋b≠0”，故选D.
2．下列命题：
①“若a≤b，则a ②“若a＝1，则ax－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题； ③“周长相等的圆面积相等”的逆命题； ④“若2x为有理数，则x为无理数”的逆否命题． 其中真命题的序号为( ) A．②④ C．②③④ 答案 B 解析 对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相等”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B. - 1 - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 考纲研读 B．①②③ D．①③④ 3．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果 x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间关系中，下列说法正确的是( ) ①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题； ②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题． A．①③ C．②③ 答案 A 解析 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确． 4．下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是( ) A．a－1>b C．|a|>|b| 答案 B 解析 寻找使a>b成立的必要不充分条件，若a>b，则a＋1>b一定成立，a>b也一定成立，但是当a>b成立时，a>b也一定成立，故选B. 5．命题“若x<1，则－1 解析 对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若x<1，则－1 222 2 2 2 3 3 3 3 B．② D．①②③ B．a＋1>b D．a>b 3 3 x2≥1”．故选D. 6．命题“f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)·g(x)，若f(x)，g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( ) A．0 C．2 答案 B 解析 由f(x)，g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如 B．1 D．3 h(x)＝x，f(x)＝2，g(x)＝x2＋1，h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)都不是奇函数，故原命 x＋1 2 x2 - 2 - 题的逆命题是假命题，其否命题也是假命题，只有其逆否命题是真命题．故选B. 7．已知0<α<π，则“α＝A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A 解析 ∵0<α<π，则“α＝ π11π ”?“sinα＝”，“sinα＝”?“α＝或α＝6226π1 ”是“sinα＝”的( ) 62 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5ππ1 ”，∴已知0<α<π，则“α＝”是“sinα＝”的充分不必要条件．故选A. 662 8．在下列四个命题中，其中的假命题是( ) ①命题“若m＋n>2t，则m>t且n>t”的逆命题； ②“相似三角形的面积相等”的否命题； ③“末位数字不为零的数能被3整除”的逆否命题； ④命题“若c>1，则方程x－2x＋c＝0没有实数根”的否命题． A．②③ C．①② 答案 A 解析 因为①中所给命题的逆命题“若m>t且n>t，则m＋n>2t”成立，所以①为真命题． 因为②中所给命题的否命题“如果两个三角形不相似，那么它们的面积不相等”不成立，所以②为假命题． 因为③中所给命题的逆否命题“如果一个数不能被3整除，那么它的末位数字为零”不成立，所以③为假命题． 因为④中所给命题的否命题“若c≤1，则方程x－2x＋c＝0有实数根”成立，所以④为真命题． 综上知，应选A. 9．“a＝b＝1”是“直线ax－y＋1＝0与直线x－by－1＝0平行”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 A 解析 a＝b＝1时，两直线分别为x－y＋1＝0与x－y－1＝0，斜率相同，所以平行，充分性成立；当直线ax－y＋1＝0与直线x－by－1＝0平行时，b＝0显然不符合，所以b≠0，1 由斜率相等，得a＝，显然不一定是a＝b＝1，所以必要性不成立，故选A. B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2 2 B．①④ D．③④ b10．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的________．(填“否命题”“逆 - 3 - 命题”或“逆否命题”) 答案 逆否命题 解析 由4种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题． 11．设p：ln (2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________． ?1?答案 ?0，? ?2? 1 解析 由p得： 2 a≤且a＋1≥1，所以0≤a≤. 12．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空) 答案 充分 充要 解析 由题知p?q?s?t，又t?r，r?q，q?s?t，故p是t的充分条件，r是t的充要条件． 二、高考小题 13．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 答案 B 解析 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中的条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B中的条件是α∥β的充要条件．故选B. 14．(2019·天津高考)设x∈R，则“x－5x<0”是“|x－1|<1”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件 答案 B 解析 由“x－5x<0”可得“0 - 4 - 2 2 2 1212 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 必要而不充分条件．故选B. 15．(2019·浙江高考)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 A 解析 ∵a>0，b>0，a＋b≤4，∴2ab≤a＋b≤4. ∴ab≤4，此时充分性成立． 当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4， 这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立． 综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A. →→→→→ 16．(2019·北京高考)设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB＋AC|>|BC|”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 C →→→→解析 因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC＝AC－AB，所以|AB＋→ B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 AC|>|BC|等价于|AB＋AC|>|AC－AB|，因模为正，故不等号两边平方得AB2＋AC2＋2|AB||AC→2→2→→→→→→ |cosθ>AC＋AB－2|AC||AB|cosθ(θ为AB与AC的夹角)，整理得4|AB|·|AC|cosθ>0，故→→→→→ cosθ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB＋AC|>|BC|”的充分必要条件．故选C. 17．(2019·北京高考)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 C 解析 ∵f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－ B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 →→→→→→→→→ x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，∴2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数?b＝ 0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C. 18．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 - 5 -
2021高考数学一轮复习第一部分第一章集合与常用逻辑用语考点测试2命题及其关系、充分条件与必要条件苏教版
