{答案}
21 7{解析}本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质，给图中各点标上字母，连接DE，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形ADE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝3a，利用勾股定理可得出AD的长，
再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）=
21DE=． 7AD
三、解答題（共8个题，共78分）
19．（2019年自贡）计算：|﹣3|﹣4sin45°+8+（π﹣3）0
{解析}本题考查了实数的运算．先分别计算平方、零指数幂，与化简绝对值、二次根数，特殊角的
锐角三角函数值，最后进行加减运算得最简结果． {答案}解：原式＝3﹣4×
2+22+1＝3﹣22+22+1＝4． 2x2??1． x?1x{解析}本题考查了分式方程的解法，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
{答案}解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x， 解得：x＝2，
检验：当x＝2时，方程左右两边相等， 所以x＝2是原方程的解． 21．（2019年自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
20．（8分）（2019年自贡）解方程：
?；AD=BC求证：（1）?（2）AE＝CE．
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?，利用等式的性质可证；AB=CD{解析}本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，（1）由AB＝CD知??知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得AD=BC（2）由?出答案．
{答案}证明（1）∵AB＝CD，
?，即????AB=CDAD+?AC=BCAC， ∴??； AD=BC∴??， AD=BC（2）∵?∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE＝CE． 22．（2019年自贡）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．
收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82 整理分析数据：
成绩x（单位：分）
60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
频数（人数）
1 17
（1）请将图表中空缺的部分补充完整；
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（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；
（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 ． {解析}本题考查了列表法与树状图法，利用列表法和树状图法求概率，（1）由已知数据计数即可得； （2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；
（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得． {答案}解：（1）补全图表如下：
（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×
10＝120（人）； 30（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D， 画树状图如下：
则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6， 所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为
1， 223．（2019年自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标； （3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
{解析}本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据一次函数y1＝x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求；（3）根
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据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围． {答案}解：（1）把A（3，5）代入y2＝∴反比例函数的解析式为y2＝
m（m≠0），可得m＝3×5＝15， x15； x把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5， ∴B（﹣5，﹣3）．
?3k?b?5,把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得?
?5k?b??3?解得?
?k?1,
?b?2
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2， ∴一次函数与y轴的交点为P（0，2）， 此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∴BC＝(?5?2)?3?32． （3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
22
24．（2019年自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+…+22017+22018① 则2S＝2+22+…+22018+22019② ②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29＝ ； （2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）． {解析}本题考查了规律型探究题，（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可； （3）利用（2）的方法计算．
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{答案}解：（1）210﹣1
311?3（2）；
2（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①， 则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②， ②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，
a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；
an?1?1a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝，
a?1an?1?1即1+a+a+a+a+..+a＝.
a?12
3
4
n
25．（2019年自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G． ①线段DB和DG的数量关系是 ； ②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系． （2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．
{解析}此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，（1）①根据旋转的性质解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②作辅助线，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论． {答案}解：（1）①DB＝DG； ②BF+BE＝2BD，理由如下：
由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG， ∴△FDG≌△EDB（ASA）， ∴BE＝FG，
∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，
Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，
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2019年四川省自贡市中考真题数学试题（解析版）
