由题意:?D1AD2?90?,AD1?AD2?30, ∴?AD?2D1?45,D1D2?302, ∵?AD?2C?135, ∴?CD2D?1?90,
∴CD?CD2212?D1D2?306,
∵?BAC??A1AD2?90?,
∴?BAC??CAD2??D2AD1??CAD2, ∴?BAD1??CAD2, ∵AB?AC,AD2?AD1, ∴VBAD2≌VCAD1(SAS), ∴BD2?CD1?306. 【解析】(1)①分两种情形分别求解即可.
②显然?MAD不能为直角.当?AMD为直角时,根据AM2?AD2?DM2,计算即可,
当?ADM?90?时,根据AM2?AD2?DM2,计算即可.
(2)连接CD.首先利用勾股定理求出CD1,再利用全等三角形的性质证明BD2?CD1即
可.
【考点】线段、角的和差,勾股定理,等腰直角三角形,全等三角 24.【答案】(1)如图1中,
数学试卷 第21页(共24页)
图1
作EH?BC于H,MQ?CD于Q,设EF交MN于点O. ∵四边形ABCD是正方形, ∴FH?AB,MQ?BC, ∵AB?CB, ∴EH?MQ, ∵EF?MN, ∴?EON?90?, ∵?ECN?90?,
∴?MNQ+?CEO?180?,?FEH+?CEO?180?, ∴?FEH??MNQ, ∵?EHF??MQN?90? ∴VFHE≌VMQN(ASA)
∴MN?EF ∴k?MN,EF?1. (2)∵a:b?1:2, ∴b?2a,
由题意:2a剟MN5a,a剟EF5a,
∴当MN的长取最大时,EF取最短,此时k的值最大,最大值?5,当MN的最短时,EF的值取最大,此时k的值最小,最小值为255. (3)连接FN,ME. ∵k?3,MP?EF?3PE,
数学试卷 第22页(共24页)
∴MNPM?EFPE?3, ∴
PNPM?PFPE?2, ∵?FPN??EPM, ∴VPNF∽VPME, ∴
NFME?PNPM?2,ME//NF 设PE?2m,则PF?4m,MP?6m,NP?12m,
①如图2中,当点N与点D重合时,点M恰好与B重合.作FH?BD于H.
图2
∵?MPE??FPH?60?,
∴PH?2m,FH?23m,PH?10m, ∴
aABb?AD?FHHD?35 ②如图3中,当点N与C重合,作EH?MN于H.则PH?m,HE?3m,
图3
∴HC?PH?PC?13m, ∴tan?HCE?MBHEBC?HC?313, ∵ME∥FC,
∴?MEB??FCB??CFD,
数学试卷 第23页(共24页) ∵?B??D, ∴VMEB≌VCFD, ∴
CDMB?FCME?2, ∴
ab?CDBD?2MB23BC?13, 综上所述,a:b的值为35或2313. 【解析】(1)作EH?BC于H,MQ?CD于Q,设EF交MN于点O.证明
△FHE≌△MQN(ASA),即可解决问题. (2)由题意:2a≤MN≤5a,a≤EF≤5a,当MN的长取最大时,EF取最短,此
时k的值最大最大值?5,当MN的最短时,EF的值取最大,此时k的值最小,
最小值为
255. (3)连接FN,ME.由k?3,MP?EF?3PE,推出
MNPM?EFPE=3,推出PNPFPM?PE?2,
由△PNF∽△PME ,推出
NFPNME?PM?2,ME∥NF,
设PE?m2,则PF?m4,MP?6m,NP?12m,接下来分两种情形①如图2中,当点N与点D重合时,点
M恰好与B重合.②如图3中,当点N与C重合,分别求解即可.
【考点】全等三角形,勾股定理,平行线之间距离,锐角三角函数,解直角三角形,相
似三角形
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2019年浙江省绍兴市中考数学试卷(附答案与解析)
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