由题意：?D1AD2?90?，AD1?AD2?30， ∴?AD?2D1?45，D1D2?302， ∵?AD?2C?135， ∴?CD2D?1?90，
∴CD?CD2212?D1D2?306，
∵?BAC??A1AD2?90?，
∴?BAC??CAD2??D2AD1??CAD2， ∴?BAD1??CAD2， ∵AB?AC，AD2?AD1， ∴VBAD2≌VCAD1(SAS)， ∴BD2?CD1?306. 【解析】（1）①分两种情形分别求解即可.
②显然?MAD不能为直角.当?AMD为直角时，根据AM2?AD2?DM2，计算即可，
当?ADM?90?时，根据AM2?AD2?DM2，计算即可.
（2）连接CD.首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2?CD1即
可.
【考点】线段、角的和差，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角 24.【答案】（1）如图1中，
数学试卷 第21页（共24页）
图1
作EH?BC于H，MQ?CD于Q，设EF交MN于点O. ∵四边形ABCD是正方形， ∴FH?AB，MQ?BC， ∵AB?CB， ∴EH?MQ， ∵EF?MN， ∴?EON?90?， ∵?ECN?90?，
∴?MNQ+?CEO?180?，?FEH+?CEO?180?， ∴?FEH??MNQ， ∵?EHF??MQN?90? ∴VFHE≌VMQN(ASA)
∴MN?EF ∴k?MN，EF?1. （2）∵a:b?1:2， ∴b?2a，
由题意：2a剟MN5a，a剟EF5a，
∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值?5，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为255. （3）连接FN，ME. ∵k?3，MP?EF?3PE，
数学试卷 第22页（共24页）
∴MNPM?EFPE?3， ∴
PNPM?PFPE?2， ∵?FPN??EPM， ∴VPNF∽VPME， ∴
NFME?PNPM?2，ME//NF 设PE?2m，则PF?4m，MP?6m，NP?12m，
①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合.作FH?BD于H.
图2
∵?MPE??FPH?60?，
∴PH?2m，FH?23m，PH?10m， ∴
aABb?AD?FHHD?35 ②如图3中，当点N与C重合，作EH?MN于H.则PH?m，HE?3m，
图3
∴HC?PH?PC?13m， ∴tan?HCE?MBHEBC?HC?313， ∵ME∥FC，
∴?MEB??FCB??CFD，
数学试卷 第23页（共24页） ∵?B??D， ∴VMEB≌VCFD， ∴
CDMB?FCME?2， ∴
ab?CDBD?2MB23BC?13， 综上所述，a:b的值为35或2313. 【解析】（1）作EH?BC于H，MQ?CD于Q，设EF交MN于点O.证明
△FHE≌△MQN（ASA），即可解决问题. （2）由题意：2a≤MN≤5a，a≤EF≤5a，当MN的长取最大时，EF取最短，此
时k的值最大最大值?5，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，
最小值为
255. （3）连接FN，ME.由k?3，MP?EF?3PE，推出
MNPM?EFPE=3，推出PNPFPM?PE?2，
由△PNF∽△PME ，推出
NFPNME?PM?2，ME∥NF，
设PE?m2，则PF?m4，MP?6m，NP?12m，接下来分两种情形①如图2中，当点N与点D重合时，点
M恰好与B重合.②如图3中，当点N与C重合，分别求解即可.
【考点】全等三角形，勾股定理，平行线之间距离，锐角三角函数，解直角三角形，相
似三角形
数学试卷 第24页（共24页）
2019年浙江省绍兴市中考数学试卷（附答案与解析）
