一、综合题（30分，每题3分）
1. 求（1 3 5）（2 5 4）（3 4）.
2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由. 3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素? 4. 下面哪个是域GF(16)的真子域.
(A). GF(6)；(B). GF(4)；(C). GF(8)；(D). GF(16). 5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？
(A). 2n；(B). n2；(C). 2n；(D). 4n. 6. 下列代数系统(S,*)中，哪个是群？ (A). S={0,1,3,5}，*是模7的乘法；(B). S是有理数集合，*运算是普通乘法; (C). S是整数集合，*是普通乘法；(D). S={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法。
7. 设A={0，1，2，3，4}，运算为模5加法，请给出A的所有子群. 8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？ 9. 请出给一个有余，但不是分配格的例子.
10. 设R是模12的整数环，R={0,1,2,…，11}，下面哪一个是极大理想 (A). 6R；(B). 2R；(C). 4R；(D). 8R.
二、计算题（25分，每题5分）
1. 计算分圆多项式Ф24(x). 2. 设（Z，+）为整数加法群，（C*，·）为非零复数的乘法群，令 f：n→in，是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核.
3. 在R5上求x+2除2x5+ 4x3 + 3x2+ 1所得的商式和余式.
4. 设G是3次对称群，H是由I和（13）作成的子群，求H的所有右陪集. 5. 设A={0，1，2，3，4，5}，运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期. 三、（10分）证明或者反驳：f(x)= 3x5+5x2+1在R0上不可约. 四、（10分）设（G, *）是群，（A,*）和（B,*）是它的两个子群，C={a*b|a?A, b?B }。
证明：若*满足交换律，则（C,*）也是（G, *）的子群. 五、（10分）设Z是整数集合，X={(a, b)?a,b?Z}，定义X上的二元运算?和?如下；
对任意(a1,b1)，(a2,b2) ?X，有：
(a1,b1) ?(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2), (a1,b1) ? (a2,b2)=(a1?a2,b1?b2)， 其中+，?分别是整数加法与乘法。
证明：(X，?，?)是环，如果此环有零因子请给出它们. 六、（10分）设(L,×,+)是一个格，其等价的半序格为(L,?)，S是L的非空子集，如
果（1）?a,b?S，有a+b?S;（2）?a?S，?x?L，若x?a，则x?S; 则称(S,×,+) 是(L,×,+)的理想。求格（{1,2,3,6},D）的所有子格和所有理想，其
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中D为整除关系. 七、（5分）设(G,*)是n元有限群，e为单位元，a1,a2,…,an是G的任意n个元素，
不一定两两不同。试证：存在正整数p和q，1?p?q?n，使得ap*ap+1*…*aq=e.
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吉林大学2005级《离散数学II》期末考试试题(A)
