一、综合题(30分,每题3分)
1. 求(1 3 5)(2 5 4)(3 4).
2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗?并说明理由. 3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素? 4. 下面哪个是域GF(16)的真子域.
(A). GF(6);(B). GF(4);(C). GF(8);(D). GF(16). 5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式?
(A). 2n;(B). n2;(C). 2n;(D). 4n. 6. 下列代数系统(S,*)中,哪个是群? (A). S={0,1,3,5},*是模7的乘法;(B). S是有理数集合,*运算是普通乘法; (C). S是整数集合,*是普通乘法;(D). S={1,3,4,5,9},*是模11的乘法。
7. 设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法,请给出A的所有子群. 8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换?对换呢? 9. 请出给一个有余,但不是分配格的例子.
10. 设R是模12的整数环,R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想 (A). 6R;(B). 2R;(C). 4R;(D). 8R.
二、计算题(25分,每题5分)
1. 计算分圆多项式Ф24(x). 2. 设(Z,+)为整数加法群,(C*,·)为非零复数的乘法群,令 f:n→in,是Z到C*中的同态映射,请求出f的同态核.
3. 在R5上求x+2除2x5+ 4x3 + 3x2+ 1所得的商式和余式.
4. 设G是3次对称群,H是由I和(13)作成的子群,求H的所有右陪集. 5. 设A={0,1,2,3,4,5},运算为模6加法,请给出A中所有元素的周期. 三、(10分)证明或者反驳:f(x)= 3x5+5x2+1在R0上不可约. 四、(10分)设(G, *)是群,(A,*)和(B,*)是它的两个子群,C={a*b|a?A, b?B }。
证明:若*满足交换律,则(C,*)也是(G, *)的子群. 五、(10分)设Z是整数集合,X={(a, b)?a,b?Z},定义X上的二元运算?和?如下;
对任意(a1,b1),(a2,b2) ?X,有:
(a1,b1) ?(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2), (a1,b1) ? (a2,b2)=(a1?a2,b1?b2), 其中+,?分别是整数加法与乘法。
证明:(X,?,?)是环,如果此环有零因子请给出它们. 六、(10分)设(L,×,+)是一个格,其等价的半序格为(L,?),S是L的非空子集,如
果(1)?a,b?S,有a+b?S;(2)?a?S,?x?L,若x?a,则x?S; 则称(S,×,+) 是(L,×,+)的理想。求格({1,2,3,6},D)的所有子格和所有理想,其
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中D为整除关系. 七、(5分)设(G,*)是n元有限群,e为单位元,a1,a2,…,an是G的任意n个元素,
不一定两两不同。试证:存在正整数p和q,1?p?q?n,使得ap*ap+1*…*aq=e.
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吉林大学2005级《离散数学II》期末考试试题(A)
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