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高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）
?x,?x1. 当x?x0时，????都是无穷小，则当x?x0时（D）不一定是无穷小.
(A) (C)
??x????x?
ln?1??(x)??(x)?
1x?a22???x? ?x??(B)
?2(x)(D) ?(x)
?sinx?lim??x?asina??2. 极限的值是（C）. （C）ecota（A）1 （B）e （D）etana ?sinx?e2ax?1x?0?f(x)??x?ax?0在x?0处连续，则a=（D）. ?3. （D）?1 f(a?h)?f(a?2h)lim?f(x)h?0x?ah4. 设在点处可导，那么（A）. （A）3f?(a) （B）2f?(a) （A）1 （B）0 （C）e 1f?(a)?f(a)3(C) （D） 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） ln(x?a)?lna1lim(a?0)x5. 极限x?0的值是a. y?yexyxyx6. 由e?ylnx?cos2x确定函数y(x)，则导函数y???. xyxe?lnx7. 直线l过点M(1,2,3)且与两平面x?2y?z?0,2x?3y?5z?6都平行，则直线l的方程为x?1y?2z?3??1?1?1. 2sin2x?2y?2x?ln(4x)8. 求函数的单调递增区间为（－?，0）和（1，+?）.
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
(1?x)?ex9. 计算极限x?0.
lim(1?x)?ee?elimx?0解：x?0xlim1x1ln(1?x)?1x1x?1x?elimln(1?x)?xe??x?0x22
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x10. 设f(x)在[a，b]上连续，且
xxF(x)??(x?t)f(t)dtax?[a,b]，试求出F??(x)。
解：
?xF(x)?x?f(t)dt??tf(t)dtaa
cosxdx.3sinx11. 求 cosx11111?2?2?2?2xdx??xdsinx??xsinx?sinxdx??xsinx?cotx?C3???22222解：sinx
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 2?2dxxx2?112. 求. 2xy?1?x2的极值与拐点. 13. 求函数3解：函数的定义域（－?，+?） 令y??0得x=1,x=-1 y??(1)?0x1=1是极大值点，y??(?1)?0x2=-1是极小值点 极大值y(1)?1，极小值y(?1)??1 令y???0得x=0,x=3,x=-3 12345x (-?,- 3) (-3,0) (0,3) (3,+?) － 故拐点（-+ 3，-32－ ），（0，0）（+ 3，32） x3y?2y?3x?x414. 求由曲线与所围成的平面图形的面积. 2y?4?x15. 设抛物线上有两点A(?1,3)，B(3,?5)，在弧AB上，求一点P(x,y)使?ABP的面
积最大. 六、证明题（本大题
2x4分）
2x16. 设x?0，试证e(1?x)?1?x.
证明：设f(x)?e(1?x)?(1?x),x?0
f?(x)?e(1?2x)?1，f??(x)??4xe，x?0,f??(x)?0，因此f?(x)在（0，+?）内递减。在（0，+?）内，f?(x)?f?(0)?0,f(x)在（0，+?）内递减，在
2x2x -来源网络
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（0，+?）内，f(x)?f(0),即e试证e(1?x)?1?x.
2x2x(1?x)?(1?x)?0亦即当x>02xe时，(1?x)?1?x -来源网络
大一上学期(第一学期高数期末考试习题及答案
