2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 含参数的分类讨论
例1 已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? 12 x ，导函数为 f ?( x) ，
（1）求函数 f ( x) 的单调区间；
（2）若 f ?(1)? ?6, 求函数f ( x) 在[—1，3]上的最大值和最小值。
【答案】略
【解析】（I） f ?( x) ? 3ax 2 ? 12 ? 3(ax 2 ? 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 ? 4) ? 0 ，到了分类讨论的时机，分
类标准是零）
当 a ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(??, ??) 单调递减；
当 a ? 0时,当x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化如下表：
x
2
(??, ? )
a
+
2 ?
a
0 极大值
2
(?2 , ) a a
—
0
2 a
2
( , ??)
a
+
f ?( x)
f ( x)
极小值
2 2 2 2
),( , ??) 单调递增， 在 (? 此时， f ( x)在(??, ? , ) 单调递减； 6 a a a
（II）由 f ?(1) ? 3a ?12 ? ?6, 得a ? 2.
由（I）知， f ( x)在(?1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。
【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底
【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1（ ）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，
由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不
重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。
题型二 已知单调性求参数取值范围问题
例 1 已知函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ax ? 5 ， 若函数在[1,??) 上是单调增函数，求 a 的取值范围
1
3
【答案】
【解析】 f '( x ) ? x 2 ? 2 x ? a ,依题意在[1,??) 上恒有 y? ? 0 成立，
方法 1：
函数 f '( x ) ? x2 ? 2 x ? a ，对称轴为 x ? ?1 ，故在 [1,??) 上 f '( x) 单调递增，故只需 f '(1) ? 0 即可，得
a ? ?3 ，所以 a 的取值范围是 [3, ?? ) ；
max
max
（方法 2： 由 y? ? x 2 ? 2 x ? a ? 0 ，得 a ? - x 2 - 2 x ，只需 a ? -x 2 -2 x） ，易得（-x 2 -2 x） ? ?3 ，因此
a ? ?3 ，，所以 a 的取值范围是 [3, ?? ) ；
【易错点】本题容易忽视 f '(1) ? 0 中的等号
【思维点拨】已知函数 f ( x) 在区间 (a, b) 可导：
1. f ( x) 在区间 (a, b) 内单调递增的充要条件是如果在区间 (a, b) 内，导函数 f ?( x) ? 0 ，并且 f ?( x) 在 (a, b) 的任何子区间内都不恒等于零；
2. f ( x) 在区间 (a, b) 内单调递减的充要条件是如果在区间 (a, b) 内，导函数 f ?( x) ? 0 ，并且 f ?( x) 在 (a, b) 的任何子区间内都不恒等于零；
说明：
1.已知函数 f ( x) 在区间 (a, b) 可导,则 f ?( x) ? 0 在区间内 (a, b) 成立是 f ( x) 在 (a, b) 内单调递增的必要
不充分条件
2.若 f ( x) 为增函数，则一定可以推出 f ?( x) ? 0 ；更加具体的说，若 f ( x) 为增函数，则或者 f ?( x) ? 0 ，
或者除了 x 在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都 f ?( x) ? 0 ；
3. f ?( x) ? 0 时，不能简单的认为 f ( x) 为增函数，因为 f ?( x) ? 0 的含义是 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 ，当 函数在某个区间恒有 f ?( x) ? 0 时，也满足 f ?( x) ? 0 ,但 f ( x) 在这个区间为常函数.
题型三 方程与零点
1．已知函数 f ?x ? ? ax3 ? 3x2 ? 1，若 f ?x ?存在三个零点，则 a 的取值范围是（
）
A. ???, ?2?
B. ??2,2 ?
D. ??2,0 ?? ?0,2 ?
C. ?2, ?? ?
【答案】D
【解析】很明显 a ? 0 ，由题意可得：
f ' ?x ? ? 3ax2 ? 6x ? 3x ?ax ? 2? ， 则 由 f ' ?x ? ? 0 可 得
x ? 0, x ? 1
2
a2 2
，
2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
