[二重积分中值定理的推广]二重积分的中值定理推广

[二重积分中值定理的推广]二重积分的中值定

理推广

第２７卷第２期２０１１年４月 忻州师范学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ

ＸＩＮＺＨＯＵ ＴＥＡＣＨＥＲＳ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｖ０１、２７Ｎｏ、２ Ａｐｒ、２０１１ 二重积分中值定理的推广 殷风、王鹏飞

摘要：文章从二重积分中值定理的基本形式和几何意义出发，找出二重积分中值定理成立的必要条件，将二重积分中值定理的连续性条件减弱为可积性和界值性，讨论了二重积分中值定理，：手?ｌ用界值性给出了二重积分中值定理的推广形式。进一步在二重积分中值定理函数连续性的基础上，增加了函数对两个变量的单调性，给出了二重积分中值定理的其它的推广形式，最后给出二重积分中值定理特殊情形，即定积分中值定理的推广

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形式。

关键词：介值性；单调性；二重积分；中值定理的推广中图分类号：０１７２、２

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７１００１５一０２ ｌ问题的提出

二重积分中值定理在微积分中有着非常广泛的应用，文献［１４］给出了二重积分中值定理的推广形式，二重积分中值定理描述如下。

定理ｌ若函数八算，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上连续，函数ｇ在Ｄ上可积且不变号，则存在一点ＥＤ，使得：

连续减弱为函数八五，，，）在有界闭区域Ｄ上可积且有介值性的条件下给出二重积分中值定理。

２

引理和二Ｉ积分中值定理的推广定义ｌ

函数八茗。Ｙ）在有界闭区域Ｄ上介值性是指：若 八髫Ｉ，），Ｉ）≠以善２，Ｙ２），，ＥＤ，则对于介于八髫、，Ｙ。）以茗：，托）之间的数ｋ，比存在介于，之间的点使得八ｆ，１＇／）＝ｋ。

引理１

设函数以聋，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，且 Ｄ，使得

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肌ｚ，ｙ）ｇｄｘｄｙ＝“ｆ，刀）』ｇ，）ｄｘｄｙ。 、ｔＤ／ 葛

注释：定理中的以茗，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上连续减弱为以茗，，，）在有界闭区域Ｄ上可积时，定理不一定成立，但对一些可积的不连续函数，却有上面的结论。

例：设尺：［０≤鼻≤ｌ，０≤Ｙ≤１］，Ｖ∈Ｒ，定义函 Ｊ肌茹，Ｙ）ｄｘｄｙ＞０，则至少存在Ｄ的一个子区域盯Ｅ

葛

以算，，，）＞０，Ｅ盯。 引理２引理３

设函数以石，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，则八石， ），）在有界闭区域Ｄ上的连续点稠密。

设函数以并，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积。且八ｚ， 数ｇ＝口，口为常数八石，ｙ）＝ｆ！’ｚ尹ｙ，则以算，，，）在尺

ｔＯ、石２Ｙ

ｙ）＞０，则肌茗，，，）ｄｘｄｙ＞０。 葛

上可积但不连续，易知ＪＩｆ，）ａｄｘｄｙ＝０，所以取Ｅ

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篇

尺Ｊ肌戈，Ｙ）ａｄｘｄｙ＝０＝八ｆ，叼）ＪＪａｄｘｄｙ。

篇 篇 Ｅ

定理２若函数八并，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，且有介 值性，函数ｇ在Ｄ上可积且不变号，则存在一点

由上述可知在二重积分中值定理中函数八髫，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上连续是充分条件、而非必要条件，也就是说可以把条件减弱。又在二重积分中值定理的证明中只用到了连续函数以戈、Ｙ）的可积性和介值性、而函数的可积性和介值性

＝

Ｄ，使得：ｆ以茗，ｙ）ｇｄｘｄｙ＝八ｆ，叼）恬ｄｘｄｙ。

为 苗

证明以苴、Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，所以， ，

Ｍｉｎｆ以髫，，，）＝ｔｎ都存在。＿ 并不一定要连续、本文在将函蚶在有界闭区域Ｄ上

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收稿日期：２０１０一１２｝■｝螺坐ｊｋ＿■｝★●ｋ■｝螺＿■｝６４９、［５］

李衍禧、积分第一中值定理的推广［Ｊ］、数学的实践与认识。２００ｒ７，３７：２０３—２０６、［６］

关若峰、积分中值定理的推广［Ｊ］、广州大学学报，２００４，：４９９－５００、

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