三角函数典型考题归类
1．根据解析式研究函数性质
例1（天津理）已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R．
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间
?π3π?上的最小值和最大值．
?8，4???【相关高考1】（湖南文）已知函数f(x)?1?2sin?x?2??π?π?π????2sinx?cosx??????． 8?88????求：（I）函数f(x)的最小正周期；（II）函数f(x)的单调增区间．
【相关高考2】（湖南理）已知函数f(x)?cos?x?2??1π?，g(x)?1?sin2x． ?212?（I）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．（II）求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式
0≤?≤例2（江西）如图，函数y?2cos(?x??)(x?R，?>0，期为?．
（1）求?和?的值； （2）已知点A?π2)的图象与y轴相交于点(0，3)，且该函数的最小正周
y?π?，0?，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当?2??π?时，求x0的值． ，π?2?????3 O A P x y0?32，x0?【相关高考1】（辽宁）已知函数f(x)?sin??x?π?π??2?x，（I）求函数f(x)?sin?x??2cos，x?R（其中??0）???6?62??π2，求函数y?f(x)的单调增区间．
的值域； （II）（文）若函数y?f(x)的图象与直线y??1的两个相邻交点间的距离为
（理）若对任意的a?R，函数y?f(x)，x?(a，a?π]的图象与直线y??1有且仅有两个不同的交点，试确定?的值（不必证明），并求函数y?f(x)，x?R的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在△ABC中，已知内角A???，边BC?23．设内角B?x，周长为y．
（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域；（2）求函数y?f(x)的最大值． 3．三角函数求值 例3（四川）已知cosα=
17,cos(α-β)＝
1314，且0<β<α<
π2,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.
【相关高考1】（重庆文）已知函数f(x)=
???2cos?2x??4??sin(x??2.（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角a在第一象限，且cosa?35,求f（a）。
)【相关高考2】(重庆理)设f (x) = 6cos求tan
2x?3sin2x（1）求f(x)的最大值及最小正周期；（2）若锐角?满足f(?)?3?23，
45?的值.
4．三角形中的函数求值
例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA．
（Ⅰ）求B的大小；（文）（Ⅱ）若a?33，c?5，求b．（理）（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范围． 【相关高考1】（天津文）在△ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??45．
（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin?2B??????的值． 6?14，tanB?【相关高考2】（福建）在△ABC中，tanA?35．（Ⅰ）求角C的大小；文（Ⅱ）若AB边的长为17，求BC边的长．理（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长． 5．三角与平面向量
????????△ABC36例5（湖北理）已知的面积为，且满足0≤AB?AC≤，设AB和AC的夹角为?．（I）求?的取值范围；
（II）求函数f(?)?2sin?2?π??????4?3cos2?的最大值与最小值．
【相关高考1】（陕西）设函数f?x??a?b，
???其中向量a?(m,cos2x),b?(1?sin2x,1),x?R，且函数y=f(x)的图象经过点?,2?，
?4?（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
【相关高考2】（广东）已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．
（文）(1)若AB?AC?0，求c的值；（理）若∠A为钝角，求c的取值范围；(2)若c?5，求sin∠A的值．
6三角函数中的实际应用
例6（山东理）如图，甲船以每小时30?2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于
?甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得
?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．
北 120B2?A2B1
7．三角函数与不等式
105A1?乙
甲
例7（湖北文）已知函数f(x)?2sin?2?π??x???4??ππ?3cos2x，x??，?．（I）求f(x)的最大值和最小值；
?42?（II）若不等式f(x)?m?2在x?8．三角函数与极值
例8（安徽文）设函数f?x???cos2?ππ?上恒成立，求实数m的取值范围．
?4，?2??x?4tsinx2cosx2?4t?t?3t?4,x?R
32其中t≤1，将f?x?的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
三角函数易错题解析
例题1 已知角?的终边上一点的坐标为（sinA、
2?3,cos2?36
），则角?的最小值为（ ）。
5?6 B、
2?3 C、
5?3 D、
11?例题2 A，B，C是?ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x2?5x?1?0的两个实数根，则?ABC是（ ）
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
例题3 已知方程x?4ax?3a?1?0（a为大于1的常数）的两根为tan?，tan?，
2且?、???????2,?????的值是_________________. ?，则tan22?例题4 函数f(x)?asinx?b的最大值为3，最小值为2，则a?______，b?_______。
例题5 函数f(x)=
2
sinxcosx1?sinx?cosx2的值域为______________。
22例题6 若2sinα?sin??3sin?,则sin??sin?的取值范围是
例题7 已知??????，求y?cos??6sin?的最小值及最大值。 例题8 求函数f(x)?2tanx1?tanx2的最小正周期。
例题9 求函数f(x)?sin2x?22cos(?4?x)?3的值域
34例题10 已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0≤?≤?)是R上的偶函数，其图像关于点M(上是单调函数，求?和?的值。
?,0)对称，且在区间[0，
?2]
2011三角函数集及三角形高考题
b?5,?B??41.（2011年北京高考9）在?ABC中，若
,sinA?13，则a? .
2A,B,Ca,b,c?ABCacosA?bsinBsinAcosA?cosB? 2.（2011年浙江高考5）.在中，角所对的边分.若，则
11(A)- 2 (B) 2 (C) -1 (D) 1
?3.（2011年全国卷1高考7）设函数重合，则?的最小值等于
f(x)?cos?x(??0)，将y?f(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像
1（A）3 （B）3 （C）6 （D）9
5.（2011年江西高考14）已知角?的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若则y=_______.
p?4,y?是角?终边上一点，且
sin???255，
f(x)?sin(2x??)，其中?为实数，若
6．（2011年安徽高考9）已知函数
则
f(x)?f(?6)对x?R恒成立，且
f(?2)?f(?)，
f(x)的单调递增区间是
???k??,k???36（A）????(k?Z)k?,k????2? （B）???(k?Z)? ??(k?Z)?
??2????k??,k?k??,k??(k?Z)???263?（C）? （D）?2227．（2011四川高考8）在△ABC中，sinA?sinB?sinC?sinBsinC，则A的取值范围是
(0,?（A）
6
]
（B）6[?,?)(0,? （C）
3
]
（D）3[?,?)
f(x)?4cosxsin(x?1.（2011年北京高考17）已知函数
?6)?1.
??????6,4?f(x)f(x)?上的最大值和最小值。 （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间?cosA?2cosC3. （2011年山东高考17） 在?ABC中，内角
A,B,C的对边分别为
a,b,c，已知
cosB?2c?ab，
sinC（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若
cosB?14,b?2，求?ABC的面积S。
5.（2011年全国卷高考18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinA?csinC?2asinC?bsinB.
A?75,b?2,求a，c (Ⅰ)求B；（Ⅱ）若.
0A,B,Ca,b,c6.（2011年湖南高考17）在?ABC中，角所对的边分别为且满足csinA?acosC.
（I）求角C的大小；（II）求
3sinA?cos(B??4的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．
)f(x)?2sin(7．（2011年广东高考16）已知函数
13x??6，x?R．
)f(（1）求
5?4)????106?,???0,?f(3??)?f(3??2?)??2?，213，5，求cos(???)的值． 的值；（2）设
f(x)?sin(x?7?4)?cos(x?45，3?4)8．（2011年广东高考18）已知函数（Ⅰ）求
f(x)，x?R．
45，
0?????cos(???)?cos(???)???2．求证：[f(?)]?2?0．
2的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知
9.（2011年江苏高考17）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
a,b,c ,b?3csin(A?（1）若
?6)?2cosA, 求A的值；（2）若
cosA?13，求sinC的值.
b10.（2011高考）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=求B。
2a。（I）求a；（II）若c2=b2+3a2，
11. （2011年湖北高考17）设?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知(I) 求?ABC的周长；(II)求
a?1,b?2,cosC?14
cos(A?C)的值。
cos2C??12. （2011年浙江高考18）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长． 2011三角函数集及三角形高考题答案
14
1.（2011年北京高考9）在?ABC中，若
b?5,?B??4,sinA?13，则a? .
a52【答案】
a【解析】：由正弦定理得sinA3?bsinB又
b?5,?B??4,sinA?11?5sin?4,a?523
23所以32.（2011年浙江高考5）.在?ABC中，角
A,B,C所对的边分
a,b,c.若acosA?bsinB，则sinAcosA?cosB?
11(A)- 2 (B) 2 (C) -1 (D) 1 【答案】D【解析】∵acosA?bsinB，∴sinAcosA?sin∴sinAcosA?cos22B，
B?sin2B?cosB?1.
2
高中数学必修4三角函数知识点与题型总结
