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2012年余姚中学自主招生模拟试题
时间90分钟 满分120分
一、选择题：（每小题4分，共40分）
1. 如图，ABC?
是⊙
O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且
3
ABEF//，若⊙
O的半径为3则DE的长为( ) 4， A.13?
B.215? C.15? D.213?
）
2．如果xy、是非零实数，使得330xyxyx?????????，那么xy?等于（ A．3 B3．在ABC?中，
13 C
1132? D．413?
,,,90,BCaACbABcCCD?????和BE是ABC?的两条中线，
且CDBE?，那么::abc?（ ） A．1:2:3
B．
3:2:1 C
3:
2:1 D．1:2:3
4．已知：221mnmnmn??????，则11mn?的值等于（ ） A．1? B．0
C．1
D．2
PC的垂线
5．如图，PA是O的直径，PC是O的弦，过AC的中点H作交PC的延长线于点B，若6,4HBcmBCcm??，则A．6．若
23cm B． 317cm ,ab为方程26
70xx?
O的直径为（ ）
C． 13cm D． 613cm
??
的两个根，则
abaabbbabaab?????的值为
A． 4D．
55 B．
121313
（ ）
677 C． 101111
7．已知xxy????51（A
122? B
，则y的最大值与最小值的差为（ ） x、y均为实数）
224? C
223? D．222?
⊥
BC,PE⊥AB,PF 的内切圆半径为
8．如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD
⊥AC,连结AP、BP、CP，如果233??????PCDBPEAPFSSS,那么△ABC（ ）
A．1 B
3 C．2 D．23 2 / 4
9．边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上，点C在y正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，使点B恰好落 在函数)0(2??aaxy的图像上，则a的值为( ) AD．
32?
2? B．1? C
423?
10．已知在⊿ABC中，∠BAC=90°，M是边BC的中点，BC的
延长线上的点N满足AM⊥AN．⊿ABC的内切圆与边AB、AC的切点分别为E、F，延长EF分别与AN、BC的延长线交于P、Q ，则QNPN=( ) A． 1 B． 5.0 C． 2 D． 5.1
二、填空题：（每小题4分，共28分）
11.
计算：1212222????＝
=]731[?，b
12．[a]表示不大于a的最大整数，{a}=a－[a]，设a
=}731{?,则a2 +(1+7)ab=
13．在四边形ABCD中，∠B=∠C=120°，AB=3，BC=4，CD=5，则此四边形的面积是 14
、如图3????ADCABCAB，CDAH?于H，BCCP?交AH于点P
，2?AP，
则?BD____________________ ．．
15．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，
则矩形ABCD的周长为
_．
16．已知关于x的二次方程02???cbxax没有实数根，一位老师改动了方程的二次项系数后，得到的新方程有两个根为12和4；另一位老师改动原来方程的某一个系数的符号，所得到的新方程的两个根为-2和6
，那么acb?=
17．如图所示：AP、PB、AB分别是三个半圆的直径，PQ⊥AB，面积为9π的圆O与两个半圆及PQ都相切，而阴影部分的面积是39π，则AB的长是
三、解答题：（共52分）
18．（本题8分）已知RtABC?中，90C???，sinA、sinB是关于x的一元二次方程22(2)5()120mxxxx?????的两个实根，求实数m的值．
19．（本题10分）当-1≤x≤2时，求函数22()2422yfxxaxaa??????
的最小值，并
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求最小值为-1时，a的所有可能的值．
20．(本题满分12分)由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone4手机二月售价比一月每台降价500元．如果卖出相同数量的Iphone4手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元．
（1）一月Iphone4手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone4s手机销售，已知Iphone4每台进价为3500元，Iphone4s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）该店计划4月对Iphone4的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone4手机再返还顾客现金a元，而Iphone4s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？
21.（本题满分10分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且1??aAB,以AB为一边在圆O内作正三角形ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且aABDB??，DC的延长线交圆O于点E，求AE的长．
22．（本题满分12分）如图，对称轴为3x?的抛物线22yaxx??与x轴相交于点B、O. (1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由
.
2012年余姚中学自主招生模拟试题答题卷
（时间90分钟 满分120分） 班级 得分 题号
1 2 3 姓名
4 5 6 7 8 9 10 一、选择题：（每小题4分，共40分）
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答
2013余姚中学自主招生数学模拟卷
