高中数学专题 函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性

基础训练

1．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lg x)的解集是( ) A．(0,10) 1?C．??10，＋∞?

1

，10? B．?10??

1

0，?∪(10，＋∞) D．??10?

解析：选D 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋1

∞)上单调递增．故|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜－1，解得x＞10或0＜x＜.

10

2．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) 3

－?

－? C．f(2)

3

－?

－?

3

解析：选D 因为函数f(x)是偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又f(x)在(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<

23

－?

3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( ) A．－1 C．－2

B．1 D．2

解析：选A ∵函数f(x)的周期为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.

[来源学科网Z|X|X|K]

4．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递减区间是(－∞，0)

2??x－2x?x≥0?

解析：选C f(x)＝?2，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2·(－x)＝－x2＋2x＝－(x2－

?－x－2x?x<0??

2x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝－(－x2－2x)＝－f(x)；又f(0)＝0，故f(x)是奇函数．画出图象知递减区间为(－1,1)，递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，故选C.

5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x1－3，则f(f(1))＝( ) A．1 C．2

B．－1 D．－2

1

－

解析：选A 依题意得f(1)＝20－3＝－2，f(f(1))＝f(－2)＝－f(2)＝－(21－3)＝1，故选A.

5?

6．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x－1)>f??3?成立的x的取值范围是( ) 14

－，? A．??33?14?C．??3，3?

14

－，? B．??33?14?D．??3，3?

解析：选B 因为偶函数的图象关于y轴对称，在区间[0，＋∞]上单调递减，所以f(x)在(－∞，0]上单5?5514

调递增，若f(2x－1)>f?，则－<2x－1<，故－

7．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 011)＋f(2 012)＝( )

A．1＋log2 3 C．－1

B．－1＋log2 3 D．1

解析：选C ∵f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－2 011)＝f(2 011)．当x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的函数．又2 011＝4×502＋3,2 012＝4×503，∴f(2 011)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，f(2 012)＝f(0)＝log2 1＝0，∴f(－2 011)＋f(2 012)＝－1，故选C.

8．设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(－x)＋f(x)＝0恒成立．如果实数m、n满足不等式f(m2－6m＋21)＋f(n2－8n)<0，那么m2＋n2的取值范围是( )

A．(9,49) C．(9,25)

B．(13,49) D．(3,7)

解析：选A 依题意得f(－x)＝－f(x)，因此由f(m2－6m＋21)＋f(n2－8n)<0得f(m2－6m＋21)<－f(n2－8n)＝f(－n2＋8n)．又f(x)是定义在R上的增函数，于是有m2－6m＋21<－n2＋8n，即(m－3)2＋(n－4)2<4.在坐标平面mOn内该不等式表示的是以点(3,4)为圆心、2为半径的圆内的点，m2＋n2可视为该平面区域内的点(m，n)与原点间的距离的平方，结合图形可知m2＋n2的取值范围是(9,49)，选A.

9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是________．

解析：－1 依题意得f(0)＝0.当x>0时，f(x)>e0＋a＝a＋1.若函数f(x)在R上是单调函数，则f(x)是R上的单调增函数，则有a＋1≥0，a≥－1，因此实数a的最小值是－1.

10．已知y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且0≤x≤2时，f(x)＝x2－2x，则10≤x≤12时，f(x)＝________.

解析：－x2＋22x－120 因为f(x)在R上是周期为4的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)?f(x－12)＝f(x)．设0≥x≥－2，则0≤－x≤2，f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.当10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f(x)＝f(x－12)＝－(x－12)2－2(x－12)＝－x2＋22x－120.

11．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________. 解析：－1 ∵y＝f(x)＋x2为奇函数 ∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]

2

∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0 ∴f(1)＋f(－1)＋2＝0 ∵f(1)＝1 ∴f(－1)＝－3 ∵g(x)＝f(x)＋2

∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.

12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)从大到小的顺序为________．

解析：f(11)>f(80)>f(－25) 因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0.所以－f(1)<0，即f(11)>f(80)>f(－25)．

[来源:Z|xx|k.Com]

13．已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：

①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.

以上命题中所有正确命题的序号为________．

解析：①②④ 令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，所以f(－2)＝0，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0；根据①可得f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象x1＋x2

关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则＝－4，即x1＋x2

2＝－8.故正确命题的序号为①②④.

a

14．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．

x(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2， f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．

a

当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；

xf(－1)－f(1)＝－2a≠0， 即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)． 故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，

3

1

这时f(x)＝x2＋.

x

任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1

1

2

＝(x1＋x2)(x1－x2)＋

x2－x1

x1x2

1?

x1＋x2－＝(x1－x2)?x1x2?. ?由于x1≥2，x2≥2，且x1

故x1－x2<0，x1＋x2>，

x1x2所以f(x1)

故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．

能力提升

1．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是( ) A．{x|－33} C．{x|x<－3，或x>3} 解析：选D 由x·f(x)<0，

???x<0，?x>0，?得或? ???f?x?>0?f?x?<0，

B．{x|x<－3，或0

而f(－3)＝0，f(3)＝0，

???x<0，?x>0，?即或? ?f?x?>f?－3????f?x?

所以x·f(x)<0的解集是{x|－3

2．函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)＝( ) A．－9 C．－3

B．9 D．0

解析：选B 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，又f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)．令t＝x＋1，可得f(－t)＝f(t)＝－f(t－2)，所以f(t－2)＝－f(t－4)．所以可得f(x)＝f(x－4)．所以f(8.5)＝f(4.5)＝f(0.5)＝9.

3．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)＝________.

解析：－1 ∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a，∴1－a＝0.

[来源:Zxxk.Com]

4

∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)． f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1. 4．关于函数，给出下列命题：

①若函数f(x)是R上周期为3的偶函数，且满足f(1)＝1，则f(2)－f(－4)＝0； ②若函数f(x)满足f(x＋1)f(x)＝2 013，则f(x)是周期函数；

??x－1，x>0，

③若函数g(x)＝?是偶函数，则f(x)＝x＋1；

?f?x?，x<0?

④函数y＝

31

，＋∞?. log|2x－3|的定义域为??2?

3

其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)

解析：①② ①因为f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝f(x)，所以f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(－4)＝f(－1)＝f(1)＝1，故f(2)－f(－4)＝0，①正确．

2 0132 013

②因为f(x＋1)f(x)＝2 013，所以f(x＋1)＝，f(x＋2)＝＝f(x)．所以f(x)是周期为2的周期函

f?x?f?x＋1?数，②正确．

③令x<0，则－x>0，g(－x)＝－x－1.又g(x)为偶函数，所以g(x)＝g(－x)＝－x－1.即f(x)＝－x－1，③不正确．

1??log|2x－3|≥0，3

④要使函数有意义，需满足?3即0<|2x－3|≤1，所以1≤x≤2且x≠，即函数的定义

2

??|2x－3|>0，

33

1，?∪?，2?，④不正确． 域为??2??2?

－x2＋2x，x>0，??

5．已知函数f(x)＝?0，x＝0，

??x2＋mx，x<0(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.

??a－2>－1，

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知?

?a－2≤1.?

是奇函数，

所以1

6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称． (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；

5