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考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件、
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.（2010·天津高考文科·Ｔ5）下列命题中，真命题是（ ）
2?m?R,使函数f（x）=x?mx（x?R）是偶函数 (A)
2?m?R,使函数f（x）=x?mx（x?R）是奇函数 (B)
2?m?R,使函数f（x）=x?mx（x?R）都是偶函数 (C)
(D)?m?R,使函数f（x）=x?mx（x?R）都是奇函数 【命题立意】考查简易逻辑、二次函数的奇偶性.
【思路点拨】根据偶函数的图像关于y轴对称这一性质进行判断.
2f(x)?xm?0【规范解答】选A.当时，函数的图像关于y轴对称，故选A.
22.（2010·天津高考理科·Ｔ3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是( )
(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 （C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
【命题立意】考查命题的四种形式中的否命题的概念.
【思路点拨】原命题“若p则q”，否命题为“若?p则?q”.
【规范解答】选B.明确“是”的否定是“不是”，并对原命题的条件和结论分别进行否定，可得否命题为“若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数”.
2f(x)?ax?bx?c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则3.（2010·辽宁高考文科·Ｔ4）已知a＞0,函数
下列选项的命题中为假命题的是（ ）
(A) ?x?R,f(x)?f(x0) (B) ?x?R,f(x)?f(x0)(C) ?x?R,f(x)?f(x0) (D) ?x?R,f(x)?f(x0)
【命题立意】本题考查二次函数的顶点与最值问题，全称命题与特称命题.
【思路点拨】
x0??b2a,由于a>0,所以f(x0)是f(x)的最小值.
x0??bbf(x0)?f(?)2a.∵a>0，∴2a是二次函数f(x)f(x)?f(x0),可判定A，B选项都
【规范解答】选C.由x0满足方程2ax+b=0，可得
的最小值，可判定D选项是真命题，C选项是假命题；存在x= x0时，是真命题，故选C.
4.（2010 ·海南宁夏理科·T5）已知命题
p1x?xy?2?2：函数在R上为增函数，
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p2x?xy?2?2：函数在R上为减函数，
则在命题（A）
q1：
p1?p2，
q2：
p1?p2q3，
q3：
??p1??p2和q4：p1???p2?中，真命题是（ ）
q1，
q1，
q3 （B）
q2， （C）
q4 （D）
q2，
q4
【命题立意】本小题主要考查逻辑联结词和判断命题的真假. 【思路点拨】先判断出
p1,p2的真假，然后再进行相关的判断，得出相应的结论.
x?xx?xp【规范解答】选Ｃ.因为y?2为增函数，y?2为减函数，易知1：函数y?2?2在R上为增函数
是真命题，
p2x?xqqy?2?2：函数在R上为减函数为假命题.故1，4为真命题.
5.（2010·陕西高考文科·Ｔ6）“a＞0”是“
a＞0”的 （ ）
(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【命题立意】本题考查充分条件、必要条件等的基本概念，属送分题. 【思路点拨】由“条件”的定义求解即可.
aaa【规范解答】选A. 因为“a＞0” ? “＞0”，但是“＞0” ? “a＞0或a<0” ，所以“＞0”
推不出“a＞0”，故“a＞0”是“
a＞0”的充分不必要条件，故选A.
32x6.（2010·广东高考文科·Ｔ8）“>0”是“x>0”成立的( )
(A)充分非必要条件 （B）必要非充分条件
(C)非充分非必要条件 （D）充要条件 【命题立意】本题考查充要条件的判断以及不等式的基本性质. 【思路点拨】判断由“x>0”是否能得到“x>0”.
3232xx?A【规范解答】选. “>0” “>0” ；而“x>0”不能得到“x>0”，故选A.
32m?7.（2010·广东高考理科·Ｔ5） “
14”是“一元二次方程x2?x?m?0”有实数解的( )
(A)充分非必要条件 (B)充分必要条件
(C)必要非充分条件 (D)非充分非必要条件 【命题立意】本题考查充分必要条件，一元二次方程根的判定.
2【思路点拨】 先求出一元二次方程x?x?m?0”有实数解的条件，再分析与
m?14的关系.
14,故选A.
【规范解答】选A. 由“一元二次方程x?x?m?0”有实数解得:
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8.（2010·福建高考文科·Ｔ8）若向量a?(x,3)(x?R)，则“x?4”是“|a|?5”的( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 【命题立意】本题考查充分必要条件，平面向量长度的坐标运算. 【思路点拨】先判断|a|?5的充要条件，然后可得结论. 【规范解答】选A.
a?5,?x2?9?5,?x??4，
?x?4?a?5,a?5?x?4? x=4，所以x?4是
a?5的充分而不必要条件.
9.（2010·北京高考理科·Ｔ6）a，b为非零向量.“a?b”是“函数f（x）=为一次函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【命题立意】本题考查充分必要条件，向量的数量积、一次函数等知识. 【思路点拨】把f(x)展开，由一次函数的条件可得到a?b且|a|?|b|.
?xa?b???xb?a?
??a?b?0，?22222b?a?0，?【规范解答】选B.函数f(x)?xa?b?(b?a)x?a?b为一次函数，则?即a?b且
|a|?|b|，反之不成立，因此“a?b”是“函数f(x)=xa?b?xb?a为一次函数”的必要而不充分
条件.
【方法技巧】（1）a?b?a?b?0；（2）“p?q”.p是q的充分条件，q是p的必要条件. 10.（2010·陕西高考理科·Ｔ9）对于数列｛
????an｝，“
an?1?an（n=1，2，…）”是“｛
an｝为递增数列”
的（ ）
(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件
(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【命题立意】本题考查充分条件、必要条件等的基本概念及数列的基本概念. 【思路点拨】而“｛
an?1?an?an?0?an?1?an?an｛｝为递增数列；
an?1?an，所以
（n=1,2,…）”.
，即｛
an｝为递增数列”推不出“
【规范解答】选B .因为推不出“
an?1?anan?0,an?1?anan｝为递增数列.又“｛
an｝为递增数列”
an?1?an（n=1,2,…）”，所以“
an?1?an（n=1，2，…）”是“｛
an｝为递增数列”的充分不必
要条件，故选B.
11.（2010·辽宁高考理科·Ｔ11）已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是( )
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?x?R,1ax2?bx?1ax21?bx?1ax2 (A)220?bx0?x?R,ax2 (B) 220?bx0 ?x?R,1ax2?bx?1ax21bx?1ax2(C) 220?bx0?x?R,ax2? (D) 220?bx0
【命题立意】本题考查充要条件、二次函数的最值，全称命题、特称命题.
1ax2【思路点拨】构造二次函数f(x)=2?bx(a?0)，观察对称轴和最值与x0的关系.
【规范解答】选C.
令f(x)?1ax2?bx （a?0）,当x?b时f(xb 令 f(x)?1ax2)取得最小值f()。2?bx （a?0）,当x?b时af(x)取得最小值fba. 令f即(x?)x??12Rax2bx f（b0）ba(ba)。即?x?R,2,f?(x)?(a)?。,当x?f(x)?f(baa时f(x)取得最小值f(a)。即?若x?x0R满足方程,f(x)?axf(ba)。?)。b. (a?0),即xb0?,若xab0满足方程ax?b(a?0),即x0?,若x所以有0满足方程?x?axR?,bf((ax)??0),f(即xbaa0x) 0即??,?R,1ax2?bx?1所以有?x?R,f(x)ax12ax221220?bx0；所以有反之若?x??xR?,fR(,x1?f(x0) 即?x?R,ax?bx?ax0?bx0)ax?2f?(xbx即1?axx?2R?,bx12ax，即2?bx?x??12；Rax,f20(x?)bx?0；反之若?x?R,1ax20) ?f(x2?bx?12202020)，反之若即 当?xx??xR12ax0?bx0，即?x?R,f(x)?f(x0)，0时,ax2?bx?12ax2?bx，即?x?R,f(x)?fb(x)，即 当x?x2 f(x)取得最小值，而对)取得最小值，而对200f(x)而言，当x?时取得最小值。0f(x)而言，当x?ba0时 f(x即 当所以x?xxbba时取得最小值。00时?， f ,(即x)x取得最小值，而对0满足方程ax?bf(x)而言，当x?时取得最小值。， ， 所以xbaa0?,即x0满足方程ax?b所以综上，xba110?x,0即满足方程x0满足方程ax?axb的充要条件是?b， ?x?R,ax2?bx?ax2综上，x满足方程aax?b的充要条件是 ?x?R,1221220?bx00综上，xax?b的充要条件是 ?x?R,12ax?bx?212ax0?bx00满足方程2ax?bx?2ax20?bx0.
12. （2010·湖南高考文科·Ｔ2） 下列命题中的假命题是（ ） （A）?x?R,lgx?0 （B）?x?R,tanx?1
（C） ?x?R,x3?0 （D）?x?R,2x?0
【命题立意】本小题以存在性命题和全称命题为载体考查指数不等式、二次不等式、对数不等式和正切函数的值域．
【思路点拨】考查等价化简． 【规范解答】选C.∵lgx=0， ∴x=1∈R， ∴A是真命题.
?又∵tanx=1时，x=4∈R,
∴B是真命题.
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C显然不对，因为
x≤0时就不成立.对任意x∈R，2的x次幂都大于零， ∴D是真命题.
13.（2010·湖南高考理科·Ｔ2）下列命题中的假命题是( )
*(x?1)2?0x?1x?N2?0x?R（A）?, （B） ?,
（C）? x?R,lgx?1 （D） ?x?R,tanx?2
【命题立意】本小题以存在性命题和全称命题为载体考查指数不等式、二次不等式、对数不等式和正切函
数的值域．
【思路点拨】对各个式子等价化简．
2x?1(x?1)?0，∴x∈R且x≠1，而1∈N*，∴2?0【规范解答】选B.∵，∴x∈R，∴A是真命题.又∵
B是假命题.又lgx?1，∴0 【思路点拨】特称命题的否定是全称命题，存在量词“存在” 改为全称量词“任意”，并把结论否定. 2xx?R??【规范解答】“存在” 改为“任意”，“”改为“ ”，即“对任意，都有?2x?5?0”. 2【答案】“对任意x?R，都有x?2x?5?0” 15.（2010·安徽高考理科·Ｔ11）命题“对任何x?R， 2x?2?x?4?3”的否定是________. 【命题立意】本题主要考查全称命题的否定，考查考生的转化能力. 【思路点拨】全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定. 【规范解答】“任何” 改为“存在”，“?”改为“? ”，即“存在x?R，|x?2|?|x?4|?3”. 【答案】“存在x?R，|x?2|?|x?4|?3” 匠心教育系列 - 5 -
(新课标)高考数学总复习：考点2-命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析)
