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高等数学考研辅导讲义
概 念 清 楚 题 型 全 面 方 法 得 当 灵 活 熟 练
多元函数微分学
一 、 二元函数 1、二元函数的解析式
xy2,求f(x,f(x,x)) 例1 设f(x,y)?x?yy例2.设f(x?y,)?x2?y2，求f(x,y)
x本例小结
2、二元函数的极限
?xy22 x?y?0?x2?y2例3 设f(x,y)??，讨论P(x,y)?O(0,0)时函数极限
?0 x2?y2?0??x2y22 x?y?0?42例4 设f(x,y)??x?y，讨论P(x,y)?O(0,0)时函数极限
?0 x2?y2?0?本例小结 例5 limx?0y?0?1?x?y lim?1??（a?0常
x??xy?x?y?1?1y?a?x2x?y数）
x2sinyx3?y3122例6 lim2 lim(x?y)sin2 lim2 2x?0x?y2x?0x?y2x?0x?yy?0y?0y?01文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.
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例7 limx?0y?0xyx?y22 lim(x2?y2)2xx?0y?022y
本例小结
3、二元函数连续；偏导存在；可微的讨论
连 续
可 微 偏导函数连续
偏导存在
（1）.函数在?x0，y0?处连续?limf?x，y??f?x0，y0?
x?x0y?y0（2）. 函数在?x0，y0?处的偏导
fx??x0，y0?=lim或
?x?0f?x0??x，y0??f?x0，y0?
?xfx??x0，y0?=limx?x0f?x，y0??f?x0，y0?
x?x0（3）. 函数在?x0，y0?处可微
?xy,x2?y2?0?22例8设f(x,y)??x?y试问该函数在点（0,0）处⑴是否连续? ⑵
?0,x2?y2?0?偏导数是否存在?
?xy22,x?y?0?22例9设f(x,y)??x?y试问该函数在点（0,0）处⑴是否连续?
?0,x2?y2?0?⑵偏导数是否存在? ⑶是否可微？ 例10
1?22(x?y)sinx2?y2?0?22x?y设函数f(x,y)??，试问该函数在点（0,0）处
?0x2?y2?0?2文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.
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⑴是否连续? ⑵偏导数是否存在? ⑶是否可微？ 本例小结
?x3y?xy322,x?y?0?22??(0,0);fyx??(0,0) 例11设f(x,y)??x?y求fxy?0,x2?y2?0?本例小结 二、求偏导
1.具体的复合函数求偏导 例13 （1）设u?xy，求
z?u?u?u,, ?x?y?z2?2r?2r?2r2（2）设r?x?y?z， 证明2?2?2?
r?x?y?z22（3）z?22 ?zya2?x2?y2 求1?zx本例小结
2.抽象的复合函数求偏导 例14
yx?2z（1）设z?f(xy,)?g()，其中f,g有连续二阶偏导数，求
yx?x?y（2）z?y 22f(x?y)?u?2u,（3）设u?f(x,xy,xyz)且f具有二阶连续偏导数，求 ?x?x?z（4） 设函数z?f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)?1，
d3?(x) dxx?1?f?x?2，
(1,1)?f?y ?3，
(1,1)?(x)?f(x,f(x,x))，求
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（5） 设函数u(x,y)?f(x?y)?f(x?y)???2u?2u具有一阶导数，计算2?2
?x?yx?yx?yg(t)dt，其中f具有二阶导数，g本例小结 3.隐函数求偏导 例15
2?z（1）设e?xyz?0,求 2 ?xz（2）已知F?，??0确定z?z?x，y?其中F?u，v?，z?x，y?均有连续偏导数，求证
?xy??zz?x?z?z?y?z。 ?x?yzz?z?z,y?)?0所确定，证明x?y?z?xy yx?x?y设函数z(x,y)由方程F(x?（3）u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,??du?0，求 ?zdx（4）设有三元方程xy?zlny?exz?1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程
A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)
B 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) C可能确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) D可能确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z) 本例小结 4.求全微分 例16
（1）求函数z?ln(1?x?y)，当x?1,y?2时的全微分
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（2）设u?f?x,y,z?有连续偏导数，z?z?x,y?由方程xe?ye?ze所确定，求du。
xyz本例小结 5.综合题 例17
设f(x,y)在D?{(x,y)|x2?y2?R2}上有一阶连续偏导数，（1） 在圆周x2?y2?R2上f(x,y)?0，且f(0,0)?2004，求
xfx??yfy??1 limdxdy22??02???x??x?y?y?R＋2222?2z?2z?2z?2z??0化为?0，（2）设用代换u?x?2y,v?x?ay可把方程62?
?x?x?y?y2?u?v求a
(3)设u(x,y),v(x,y)在第一象限内有二阶连续偏导数,且有
?u?v?u?v?? ,又u?f(x2?y2),求u(x,y),v(x,y). ?,
?x?x?y?y(4) 设u?flnx?y2?2?f(xt)dt3?u?u?2320??1求u?f(r) ,2?2?(x?y),limx?0?x?yx221?3u?x2y2z2f???(xyz)求u?f(r) （5）设u?f?xyz?,f(0)?0,f?(1)?1,?x?y?z（6）设f(x,y)可微，f(1,1)?1,fx(1,1)?a,fy(1,1)?b,?(x)?f[x,f(x,f(x,x))]求
limln?(x)
x?1x?11f(0,y?)?fn)n?ecoty,f(0,?)?1,求f(x,y) （7）设f(x,y)可微，?f,lim(n???xf(0,y)2三、多元微分学的应用 1.几何应用
空间曲线的切线与法平面,关键是求切向量
例18 在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中，与平面x?2y?z?4平行的切线
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