一、选择题 (1)C
2013考研数学模拟试卷二【数三】解析
解：由f?(x)?lncosx??x0g(x?t)dt?lncosx??g(u)du得
0xsinx?g(x) cosxf??(x)1sinxg(x)于是lim?lim[???]??1?2??3
x?0x?0xcosxxxf??(x)?f??(0)?f??(0)?0,f???(0)?lim??3?0
x?0xf??(x)??可见(0,f(0))为曲线y?f(x)的拐点，故选（Ｃ)
（2)B
解：由一阶导数判断函数单调性,二阶导数判断凹凸性,选B。
（3）A 解:正项级数
?ln(1?a)收敛,所以ann?1?n?0且an?0(n??)
????ln(1?an)?1,于是正项级数?an与?ln(1?an)有相同的敛散性,即?an收敛,且?an?1也收又limn??ann?1n?1n?1n?1?1?(an?an?1)，级数?(an?an?1)收敛， 2n?1敛。又(?1)nanan?1?anan?1所以,由比较判别法,级数（4）B
?(?1)n?1?nanan?1绝对收敛。
x41arctan有三个间断点，其中x??1为无穷间断点，曲线有两条铅直渐近线（x?0非无穷间解：2xx?1断点）。
又由泰勒公式，得arctan111???(3),从而 xxxx411112arctan?(x?1?[?O()]?x?o(1)(x??)， 223xx?1x?1xx故y?x是曲线的斜渐近线。 （５）Ｃ
解：因A，B满足AB?A?B.
两边取行列式,显然有|A?B|?|AB|?|A||B|，(A)成立. 又AB?A?B，移项，提公因子得
AB?A?A(B?E)?B，
A(B?E)?B?E?E， (A?E)(B?E)?E.
故A?E,B?E都是可逆阵,且互为逆矩阵，从而知方程组(A?E)X?0只有零解,正确. B?E不可逆是错误的，又因(A?E)(B?E)?E,故(B?E)(A?E)?E， 从而有BA?A?B?E?E,BA?A?B,得AB?BA,从而有
(AB)?1?(BA)?1?A?1B?1成立.
故(1)、(2）、（3）是正确的，应选（Ｃ）．
（6)Ｃ
解：非齐次通解=齐次通解+非齐次特解
（7）D
??e??x,x?0解：由于X~E(?)，所以密度函数为f(x)??,分布函数为
?0,x?0?1?e??x,x?011F(x)???EX?,DX?2，所以A,B,C都不对。
???0,x?0因为E(X?Y)?2?,E(X?Y)?0,
2?1?e?2?x,x?0而max(X,Y)的分布函数不是F(x)??,所以D对。
?0,x?0事实上，min(X,Y)的分布函数为P{min(X,Y)}?x}?1?P{min(X,Y)}?x}
?1?e?2?x,x?0?1?P{X?x,Y?x}?1?P{X?x}P{Y?x}?1?[1?F(x)]??。
?0,x?02(８) D
?e?x,x?0,?E(X?e?2X)?E(X)?E(e?2X) 解:X的分布密度为 ?(x)???0,x?0. ??????x?(x)dx??e?????2x?(x)dx??xedx??e?3xdx?.
00???x??43
二、填空题 （9)0 解:由limcosx?1?1知limf(x)?f(0)?0，于是
x?0ef(x)?1x?0f(x)f(x)?xef(x)?1?xf?(0)?lim?lim??lim??0
x?0x?0x?0cosx?1x2x22?2
2013考研数学模拟卷数三2标准答案
