《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略
2．在R中，求向量a＝[1,2,1,1],在基
a1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T, a2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T a3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。
解：其坐标为：x＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R2×2中，求矩阵A=??12??，在基 03??4
T
?11??11??11??10?，，，下的坐标。 B1=?B2=?B3=?B4=??????11??10??00??00?解：其坐标为：x＝( 3, －3, 2，－1 )4．试证：在R2×2中，矩阵
T
?11??11??11??10?，，，线性无关。 B1=?B=B=B=2?3?4??????11??01??10??11?证明：设 k1B1+ k2B2+ k3B3+ k4B4=?5．已知R4中的两组基：
?00??，只要证明k1= k2 = k3= k4 =0即可。余略。 00??和?1=[2,1,－1,1]T,?2=[0,3,1,0]T,?3=[5,3,2,1]T,?4=[6,6,1,3]T
求由基???{?1,?2,?3,?4}到基???{?1,?2,?3,?4}的过渡矩阵，并求向量??[x1,x2,x3,x4]在基???{?1,?2,?3,?4}的坐标。
?2?1解：基???{?1,?2,?3,?4}到基???{?1,?2,?3,?4}的过渡矩阵是：??－1??1056?336?? 121??013?向量??[x1,x2,x3,x4]在基???{?1,?2,?3,?4}的坐标是：
6．设R[x]n是所有次数小于n的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n－1在基{1，(x－1)，(x－1)2，(x－1)3，….，(x－1)n－1}的坐标。
T 1kn?1,...,2C,...,2C解：所求的坐标是：（3，2Cn）?1n?1n?17．已知?1=[1,2,1,0]T,?2=[-1,1,1,1]T,?1=[2,-1,0,1]T,?2=[1,-1,3,7]T，
求V1＝span{?1,?2}与V2=span{?1,?2}的和与交的基和维数。
解：V1＋V2的一组基为?1=[1,2,1,0]T,?2=[-1,1,1,1]T,?1=[2,-1,0,1]T，所以维数为3 V1∩V2的一组基是：?3?1??2?[?5,2,3,4]T，所以维数为1。
8．设T是n维线性空间V上的一个线性变换，对某个?∈V，有Tk－1（?）≠0，
Tk（?）＝0。试证：?,T(?),T2(?),...,Tk?1(?)线性无关。
证明：设x1??x2T(?)?x3T2(?)?...?xkTk?1(?)?0………………（*）
下证x1?x2?x3?...?xk?0即可。
对（*）两边的向量作线性变换：Tk－1，根据Tk－1（?）≠0，Tk（?）＝0，得到 由此（*）变为
x2T(?)?x3T2(?)?...?xkTk?1(?)?0…………….. （**）
对（**）两边作线性变换：Tk－2，根据Tk－1（?）≠0，Tk（?）＝0，得到 依次进行，得到x1?x2?x3?...?xk?0，即?,T(?),T2(?),...,Tk?1(?)线性无关。 9．设n维线性空间V上线性变换T，使对V中任何非零向量?都有Tn－1（?）≠0， Tn（?）＝0。求T在某一基下的矩阵表示。
解：任取V中一非零向量?，因Tn－1（?）≠0， Tn（?）＝0，所以由第8题的结果，
有
?,T(?),T2(?),...,Tn?1(?)是V中的一组基。则T在此基下的矩阵：
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10．设T是线性空间R的线性变换，它在R中基???{?1,?2,?3}下的矩阵表示是：
?123?? ?103A＝?????215??求T在基???{?1??1,?2??1??2,?3??1??2??3}下的矩阵表示。 解：T在基???{?1??1,?2??1??2,?3??1??2??3}下的矩阵表示是：
4??24? ?3?4?6B＝?????238??11．设T在基???{?1?[?1,1,1]T,?2?[1,0,?1]T,?3=[0,1,1]T}下的矩阵表示是：
?101?? 110A＝??????121??（1） 求T在基???{?1?[1,0,0]T,?2?[0,1,0]T,?3=[0,0,1]T}下的矩阵表示。 （2） 求T的核和值域。
（3） 求T的特征值和特征向量。
解：（1）T在基???{?1?[1,0,0]T,?2?[0,1,0]T,?3=[0,0,1]T}下的矩阵表示是：
??110??101???11?1???11?2???110??01?1???220? 101B＝???????????1?11?????121????101????302??（2）核空间N（T）＝{(0,0,0)T} 值域 R（T）＝R3。
（3）特征值为：?1?2,?2?(1?7i)/2,?3?(1?7i)/2
对应的特征向量是：
高等工程数学》科学出社吴孟达版习题答案章
