导数应用之构造函数法解不等式

由天下分享时间：2025/3/23 15:51:37 加入收藏我要投稿点赞

导数应用之七构造函数利用单调性解不等式

一．导数的常见构造

1．对于f'?x??g'?x?，构造h?x??f?x??g?x?

更一般地，遇到f'?x??a?a?0?，即导函数大于某种非零常数(若a=0，则无需构造)，则可构h?x??f?x??ax

2．对于f'?x??g'?x??0，构造h?x??f?x??g?x? 3．对于f'?x??f?x??0，构造h?x??exf?x? 4．对于f'?x??f?x?[或f'?x??f?x??0]，构造h?x??5．对于xf'?x??f?x??0，构造h?x??xf?x? 6．对于xf'?x??f?x??0，构造h?x??

【母题原题】设函数f'(x)是奇函数f(x)(x?R)的导函数，f(?1)?0，当x?0时，

f?x? exf?x? xxf'(x)?f(x)?0，则使得f(x)?0成立的x的取值范围是（）

A．(??,?1)(0,1) B．(?1,0)(1,??) C．(??,?1)(?1,0) D．(0,1)(1,??)

变式1.【天津一中2014---2015高三年级理科】函数f?x?的定义域是R，f?0??2，对任意x?R,f?x??f??x??1，则不等式e?f?x??e?1的解集为（）

xxA.?x|x?0? B.?x|x?0? C.x|x??1或0?x?1 D.x|x?1或x??1????

'变式2.设函数f(x)是定义在(??,0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有

3f(x)?xf'(x)?0,则不等式?x?2015?f(x?2015)?27f(?3)?0的解集是（）

A.(?2018,?2015) B.?(?,?201(201?6,20(?,?201 6 C.? 1 D.? 2变式3.设函数f(x)在R上存在导数f(x)，?x?R，有f(x)?f(?x)?x，在?0,???上

'23f'(x)?x，若f(4?m)?f(m)?8?4m，则实数m的取值范围为（）

A.??2,2? B.?2,??? C.?0??,? D.???,?2???2,???1

经典题目练习

1．【2015届江西月考】已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)?1，且f(x)的导函数

f?(x)?x?1，则不等式f(x)?12x?x?1的解集为（） 2A．x?2?x?2 B．xx?2 C．xx?2 D．{x|x??2或x?2} 2.已知定义域为R的函数f(x)满足f(1)?3，且f(x)的导数f?(x)?2x?1，则不等式

??????f(2x)?4x2?2x?1的解集为 ▲ .

3.定义在R上的函数f(x)满足：f(1)=1，且对任意x∈R，都有f'(x)? f(log3x)?1，则不等式 2log3x?1的解集为（ B ） 2 A．(0，2) B（0，3） C．(1，3) D．(2，+∞)

4．已知定义域为R的函数f(x)满足：f(4)＝－3，且对任意x∈R总有f′(x)＜3，则不等式f(x)＜3x－15的解集为

5．【2015届内蒙古】 f(x),g(x)(g(x)?0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x?0时，f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，且f(?3)?0, f(x)?0的解集为（） g(x)A．（－∞，－3）∪（3，+∞） B．（－3，0）∪（0，3） C．（－3，0）∪（3，+∞） D．（－∞，－3）∪（0，3） 6．(2016·成都七中)已知函数f(x)(x?R)满足f?(x)?f(x)，则( B )

A．f(2)?e2f(0) B. f(2)?e2f(0) C. f(2)?e2f(0) D．不确定 7.已知f(x)为R上的可导函数，且?x?R，均有f(x)?f?(x)，则有（）

A.ef(?2013)?2013B.ef(?2013)?2013C.ef(?2013)?2013D.ef(?2013)?2013f(0),f(2013)?e2013f(0)

f(0),f(2013)?e2013f(0) f(0),f(2013)?e2013f(0) f(0),f(2013)?e2013f(0)

8.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，?x??0,???，都有xf'(x)?2f(x)成立，则（）

A.2f(3)?3f(2) B.2f(1)?3f(2) C.4f(3)?3f(2) D.4f(1)?f(2)

9. 已知f(x)是定义在?0,???上的非负可导函数，且满足：xf?(x)?f(x)?0，对任意正数a,b，若a?b，则必有（ A ）

A.af(b)?bf(a) B.bf(a)?af(b) C.af(a)?bf(b) D.bf(b)?af(a) 10．对R上可导函数f?x?，若满足f(x)?xf?(x)?0且f(?1)?0,，则f(x)?0解集是（） A. (??,?1) B. (0,??) C. (??,?1)?(0,??) D. (?1,0)

11．【2015届浙江重点中学】函数f(x)的导函数为f?(x)，对?x?R，都有2f?(x)?f(x)成立，若f(ln4)?2，则不等式f(x)?e的解是（）[来源:Zxxk.Com] A．x?ln4 B．0?x?ln4 C．x?1 D．0?x?1

12．【2015届山西太原】设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)?0,当x?0时，有

x2xf'(x)?f(x)?0恒成立，则不等式x2f(x)?0的解集为（） 2xA．(?2,0)(2,??) B．(?2,0)(0,2) C(??,?2)(2,??) D．(??,?2)(0,2)

13.已知奇函数f(x)满足：对?x1,x2????,0?且x1?x2，有若a?20.2x1f(1x)?2xf2(x)?0恒成立，

x1?x211f(20.2),b?(ln2)f(ln2),c?(log2)f(log2)，则a, b, c的大小关系为

4414.定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f'(x)?f(x.)且f(x)f(x?3)??1，若

f(2015)??e，则不等式f(x)?ex的解集为 15.已知y?f?x?是定义在R上的奇函数，且当x?0时不等式f?x??xf'?x??0成立，

1?1?0.30.3a?3?f3?? ,b?log?3?f?log?3?,c?log3?f?log3?，则a , b , c若

9?9?大小关系是（）

A．b?a?c B．a?b?c C．a?c?b D．b?c?a

16.（2016石家庄质检）定义在(0,??)的函数f(x)满足：(1f)x(?)

f(1)(2)f(x)?f'(x)?2f(x)，则f(2)的范围为