2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
（6月14日上午8:30??11:30）
一、填空题
1、若三位数n?abc是一个平方数，并且其数字和a?b?c也是一个平方数，则称n为
超级平方数，这种超级平方数的个数是 ．
答案：13个．
解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．
2、函数y?8x?x2?14x?x2?48的最大值是 ．
答案：23．
解：y?x(8?x)?(x?6)(8?x)?8?x?x?x?6??68?xx?x?6，
其定义域为6?x?8，当x?6时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为23．
3、直线l过点M(1,2)，若它被两平行线4x?3y?1?0与4x?3y?6?0所截得的线段长
为2，则直线l的方程为 ．
答案：x?7y?15或者7x?y?5．
解：设l的方程为y?2?k(x?1)，将此方程分别与4x?3y?1?0及4x?3y?6?0联立，?3k?7?5k?8??3k?12?10k?8?,,解得交点坐标A??与B??，据AB?2， 3k?43k?43k?43k?4????25(k2?1)1?5??5k??2，所以k1?7，k2??，分别代入所设方得??????2，即27?3k?4??3k?4??3k?4?22程，得到x?7y?15或者7x?y?5．
13?? ． sin100cos100答案：4．
4、
13cos100?sin10013sin300cos100?cos300sin10022??4??4解： sin100cos1002sin100cos1002sin100cos100sin200?4??4．
sin2005、满足1?x2?x的实数x的取值范围是 ．
1
?2?答案：??1,?．
2???11?,解：用图像法：令y?1?x2，此为单位圆的上半圆，它与直线y?x交点??，22??半圆位于交点左侧的图像皆在直线y?x上方；或者三角函数代换法：
os,0?????，in?，因?1?x?1，令x?c则y?s由条件式1?x2?x，平方得2x2?1，
则x?1?2?，又有x?cos???1，因此x???1,?．
22??]．
6、若实数x,y,z?0，且x?y?z?30,3x?y?z?50，则T?5x?4y?2z的取值范围
是 [答案：?120,130?．
解：T?5x?4y?2z??x?y?z???4x?3y?z??30??4x?3y?z? 因4x?2y??x?y?z???3x?y?z??80，所以T?110?(y?z)，
20?(3x?y?z)?(x?y?z)?2(x?z)，则x?z?10，因x,z非负，于是x?10，
从而由x?y?z?30知，y?z?20，得到T?110?(y?z)?130，
（当z?0,x?10,y?20时取得等号）
再由4x?2y?80，y?0，则x?20，所以y?z?30?x?10，于是 T?110?(y?z)?120，（当x?20,y?0,z?10时取得等号），所以120?T?130．
7、在前一万个正整数构成的集合?1,2,,10000?中，被3除余2，并且被5除余3，被7除余4的元素个数是 ．
答案：95个．
解：对于每个满足条件的数n，数2n应当被3,5,7除皆余1，且为偶数；因此，2n?1应当是3,5,7的公倍数，且为奇数；即2n?1是105的奇倍数，而当n??1,2,2n?1??1,2,,19999?，由于在?1,2,,10000?时，
,19999?中，共有190个数是105的倍数，其中的奇倍
数恰有95个．
8、如图，正四面体ABCD的各棱长皆为2，A1,B1,C1分别是棱DA,DB,DC的中点，
以D为圆心，1为半径，分别在面DAB,DBC内作弧A1B1,B1C1，并将两弧各分成五等分， 分点顺次为A1,P1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1， 1,P2,P3,P4,B1以及B一只甲虫欲从点P1出发，沿四面体表面爬行至点Q4，则其 爬行的最短距离为 ．
2
答案：2sin420．
解：作两种展开，然后比较；
0由于A1B1被A1,P1,P2,P3,P4,B1分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为12，B1C1被
B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为120，
若将?DBC绕线段DB旋转，使之与?DAB共面，这两段弧均重合于以D为圆心，半径
08?120?960，此时，点P为1的圆周，PQ1,Q4之间直线距离为2sin48， 14对应的圆心角为
若将?DAB绕线段DA旋转，?DBC绕线段DC旋转，使之皆与?DAC共面，在所得图
07?120?840，此时，点P形中，PQ1,Q4之间直线距离为2sin42， 14对应的圆心角为
所以最短距离是2sin420．
二、解答题
29、正整数数列?an?满足：a1?2,an?1?an?an?1；证明：数列的任何两项皆互质．
证：改写条件为 an?1?1?an(an?1)，从而an?1?an?1(an?1?1)，等等，据此迭代得 an?1?1?anan?1(an?1?1)?anan?1an?2(an?2?1)??anan?1a1(a1?1)?anan?1a1，
所以，an?an?1an?2a1?1，因此当k?n，(an,ak)?1．
10、（25分）H为锐角三角形ABC的垂心，在线段CH上任取一点E，延长CH到F，
使HF?CE，作FD?BC，EG?BH，其中D,G为垂足，M是线段CF的中点，O1,O2分别为?ABG,?BCH的外接圆圆心，O1,
证明：?1?、A,B,D,G四点共圆；
FGHNMEDKO2的另一交点为N；
A?2?、O1,O2,M,N四点共圆；
证：?1?、如图，设EGDF?K，连AH，
BO1C则因AC?BH,EK?BH，AH?BC， KF?BC，得CA∥EK，AH∥KF，且 CH?EF，所以?CAF≌?EKF，AH与KF平
O2A行且相等，故AK∥HF，
?KAB?900??KDB??KGB，因此， A,B,D,G四点共圆；
O1FHGNME据?1?，BK为?2?、
O1的直径，作O2的直径BP，
BDC 3
O2P连CP,KP,HP,O1O2，则
?BCP??BHP?900，所以CP∥AH，
HP∥AC，故AHPC为平行四边形，进而得，
PC与KF平行且相等，因此对角线KP与CF互相平分于M，从而O1,O2,M是?KBP三边
的中点，KM∥O1O2，
而由?KNB?900，O1O2?BN，得KN∥O1O2，所以M,N,K共线，
因此MN∥O1O2，又由?KBP的中位线知MO2?O1B?O1N，因此四边形O1O2MN是等腰梯形，其顶点共圆．
11、对于任意给定的无理数a,b及实数r?0，证明：圆周?x?a???y?b??r2上至多
只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．
证：对于点M?a,b?，用P?M,r?表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点A?0,0?,B?2,2?，线段AB中垂线l的方程为:x?y?2,今在l上取点M1?2,1?2，再取 r?MA?6，则以M为圆心、r为半径的圆周上至少有A,B这两个有理点；
其次说明，对于任何无理点M以及任意正实数r，P?M,r??2；
为此，假设有无理点M?a,b?及正实数r，在以M为圆心，r为半径的圆周上，至少有三个有理点Ai?xi,yi?，xi,yi为有理数，i?1,2,3，则
22???x1?a???y1?b?22??x2?a???y2?b???x3?a???y3?b? ……①
1222x1?y12?x2?y2?? ……② 212222x2?y2?x3?y3?? ……③ 22222据前一等号得 ?x1?x2?a??y1?y2?b?据后一等号得 ?x2?x3?a??y2?y3?b?记
121222222x1?y12?x2?y2?t1，?x2?y2?x3?y3????t2，则t1,t2为有理数， 22若x1?x2?0，则由②，?y1?y2?b?t1，因b为无理数，得y1?y2?0，故A1,A2共点，矛盾！同理，若x2?x3?0，可得A2,A3共点，矛盾！ 若x1?x2?0,x2?x3?0，由②、③消去b得，
???x1?x2??y2?y3???y1?y2??x2?x3???a?t1?y2?y3??t2?y1?y2??有理数，因a为无理数，
4
故得，?x1?x2??y2?y3???y1?y2??x2?x3??0，所以
y1?y2y3?y2?，则 A1,A2,A3共线，这与A1,A2,A3共圆矛盾！ x1?x2x3?x2因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点．于是对于所有的无理点M及所有正实数r，P?M,r?的最大值为2．
12、从集合M??1,2,,36?中删去n个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是
2015的因数，求n的最小值．
答案：17．
解：因2015?5?13?31，M中任两个元素之和不大于71，由于2015不大于71的正因数有1,5,13,31,65，在M的二元子集中，元素和为5的有?1,4?,?2,3?； 元素和为13的有?1,12?,?2,11?,?3,10?,?4,9?,?5,8?,?6,7?； 元素和为31的有?1,30?,?2,29?,?3,28?,?4,27?,?5,26?,?6,25?,元素和为65的有?29,36?,?30,35?,?31,34?,?32,33?；
为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数；
,?15,16?；
191213530(A)427201123(B)2813141817163433(E)9223629102115312385(C)26247(D)62532
于是在图(A),(B)中各至少要删去4个数，图(C),(D)中各至少要删去2个数，图(E)中至少删去5个数，总共至少要删去17个数．
另一方面，删去适当的17个数，可以使得余下的数满足条件；例如在图(A)中删去12,30,4,22，图(B)中删去11,29,3,21，(C)中删去23,5，(D)中删去24,6，(E)中删去13,14,15,31,32．这时图中所有的线段都已被断开．
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2015全国高中数学联赛江西预赛试题及解答
