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2015全国高中数学联赛江西预赛试题及解答

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2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

(6月14日上午8:30??11:30)

一、填空题

1、若三位数n?abc是一个平方数,并且其数字和a?b?c也是一个平方数,则称n为

超级平方数,这种超级平方数的个数是 .

答案:13个.

解:可顺次列举出:100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961.

2、函数y?8x?x2?14x?x2?48的最大值是 .

答案:23.

解:y?x(8?x)?(x?6)(8?x)?8?x?x?x?6??68?xx?x?6,

其定义域为6?x?8,当x?6时,此分式的分子最大而分母最小,这时分式的值达最大,其值为23.

3、直线l过点M(1,2),若它被两平行线4x?3y?1?0与4x?3y?6?0所截得的线段长

为2,则直线l的方程为 .

答案:x?7y?15或者7x?y?5.

解:设l的方程为y?2?k(x?1),将此方程分别与4x?3y?1?0及4x?3y?6?0联立,?3k?7?5k?8??3k?12?10k?8?,,解得交点坐标A??与B??,据AB?2, 3k?43k?43k?43k?4????25(k2?1)1?5??5k??2,所以k1?7,k2??,分别代入所设方得??????2,即27?3k?4??3k?4??3k?4?22程,得到x?7y?15或者7x?y?5.

13?? . sin100cos100答案:4.

4、

13cos100?sin10013sin300cos100?cos300sin10022??4??4解: sin100cos1002sin100cos1002sin100cos100sin200?4??4.

sin2005、满足1?x2?x的实数x的取值范围是 .

1

?2?答案:??1,?.

2???11?,解:用图像法:令y?1?x2,此为单位圆的上半圆,它与直线y?x交点??,22??半圆位于交点左侧的图像皆在直线y?x上方;或者三角函数代换法:

os,0?????,in?,因?1?x?1,令x?c则y?s由条件式1?x2?x,平方得2x2?1,

则x?1?2?,又有x?cos???1,因此x???1,?.

22??].

6、若实数x,y,z?0,且x?y?z?30,3x?y?z?50,则T?5x?4y?2z的取值范围

是 [答案:?120,130?.

解:T?5x?4y?2z??x?y?z???4x?3y?z??30??4x?3y?z? 因4x?2y??x?y?z???3x?y?z??80,所以T?110?(y?z),

20?(3x?y?z)?(x?y?z)?2(x?z),则x?z?10,因x,z非负,于是x?10,

从而由x?y?z?30知,y?z?20,得到T?110?(y?z)?130,

(当z?0,x?10,y?20时取得等号)

再由4x?2y?80,y?0,则x?20,所以y?z?30?x?10,于是 T?110?(y?z)?120,(当x?20,y?0,z?10时取得等号),所以120?T?130.

7、在前一万个正整数构成的集合?1,2,,10000?中,被3除余2,并且被5除余3,被7除余4的元素个数是 .

答案:95个.

解:对于每个满足条件的数n,数2n应当被3,5,7除皆余1,且为偶数;因此,2n?1应当是3,5,7的公倍数,且为奇数;即2n?1是105的奇倍数,而当n??1,2,2n?1??1,2,,19999?,由于在?1,2,,10000?时,

,19999?中,共有190个数是105的倍数,其中的奇倍

数恰有95个.

8、如图,正四面体ABCD的各棱长皆为2,A1,B1,C1分别是棱DA,DB,DC的中点,

以D为圆心,1为半径,分别在面DAB,DBC内作弧A1B1,B1C1,并将两弧各分成五等分, 分点顺次为A1,P1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1, 1,P2,P3,P4,B1以及B一只甲虫欲从点P1出发,沿四面体表面爬行至点Q4,则其 爬行的最短距离为 .

2

答案:2sin420.

解:作两种展开,然后比较;

0由于A1B1被A1,P1,P2,P3,P4,B1分成五段等弧,每段弧对应的中心角各为12,B1C1被

B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1分成五段等弧,每段弧对应的中心角也各为120,

若将?DBC绕线段DB旋转,使之与?DAB共面,这两段弧均重合于以D为圆心,半径

08?120?960,此时,点P为1的圆周,PQ1,Q4之间直线距离为2sin48, 14对应的圆心角为

若将?DAB绕线段DA旋转,?DBC绕线段DC旋转,使之皆与?DAC共面,在所得图

07?120?840,此时,点P形中,PQ1,Q4之间直线距离为2sin42, 14对应的圆心角为

所以最短距离是2sin420.

二、解答题

29、正整数数列?an?满足:a1?2,an?1?an?an?1;证明:数列的任何两项皆互质.

证:改写条件为 an?1?1?an(an?1),从而an?1?an?1(an?1?1),等等,据此迭代得 an?1?1?anan?1(an?1?1)?anan?1an?2(an?2?1)??anan?1a1(a1?1)?anan?1a1,

所以,an?an?1an?2a1?1,因此当k?n,(an,ak)?1.

10、(25分)H为锐角三角形ABC的垂心,在线段CH上任取一点E,延长CH到F,

使HF?CE,作FD?BC,EG?BH,其中D,G为垂足,M是线段CF的中点,O1,O2分别为?ABG,?BCH的外接圆圆心,O1,

证明:?1?、A,B,D,G四点共圆;

FGHNMEDKO2的另一交点为N;

A?2?、O1,O2,M,N四点共圆;

证:?1?、如图,设EGDF?K,连AH,

BO1C则因AC?BH,EK?BH,AH?BC, KF?BC,得CA∥EK,AH∥KF,且 CH?EF,所以?CAF≌?EKF,AH与KF平

O2A行且相等,故AK∥HF,

?KAB?900??KDB??KGB,因此, A,B,D,G四点共圆;

O1FHGNME据?1?,BK为?2?、

O1的直径,作O2的直径BP,

BDC 3

O2P连CP,KP,HP,O1O2,则

?BCP??BHP?900,所以CP∥AH,

HP∥AC,故AHPC为平行四边形,进而得,

PC与KF平行且相等,因此对角线KP与CF互相平分于M,从而O1,O2,M是?KBP三边

的中点,KM∥O1O2,

而由?KNB?900,O1O2?BN,得KN∥O1O2,所以M,N,K共线,

因此MN∥O1O2,又由?KBP的中位线知MO2?O1B?O1N,因此四边形O1O2MN是等腰梯形,其顶点共圆.

11、对于任意给定的无理数a,b及实数r?0,证明:圆周?x?a???y?b??r2上至多

只有两个有理点(纵横坐标皆是有理数的点).

证:对于点M?a,b?,用P?M,r?表示上述圆周上有理点的个数;首先,我们可以作一个合于条件的圆,其上至少有两个有理点,为此,取点A?0,0?,B?2,2?,线段AB中垂线l的方程为:x?y?2,今在l上取点M1?2,1?2,再取 r?MA?6,则以M为圆心、r为半径的圆周上至少有A,B这两个有理点;

其次说明,对于任何无理点M以及任意正实数r,P?M,r??2;

为此,假设有无理点M?a,b?及正实数r,在以M为圆心,r为半径的圆周上,至少有三个有理点Ai?xi,yi?,xi,yi为有理数,i?1,2,3,则

22???x1?a???y1?b?22??x2?a???y2?b???x3?a???y3?b? ……①

1222x1?y12?x2?y2?? ……② 212222x2?y2?x3?y3?? ……③ 22222据前一等号得 ?x1?x2?a??y1?y2?b?据后一等号得 ?x2?x3?a??y2?y3?b?记

121222222x1?y12?x2?y2?t1,?x2?y2?x3?y3????t2,则t1,t2为有理数, 22若x1?x2?0,则由②,?y1?y2?b?t1,因b为无理数,得y1?y2?0,故A1,A2共点,矛盾!同理,若x2?x3?0,可得A2,A3共点,矛盾! 若x1?x2?0,x2?x3?0,由②、③消去b得,

???x1?x2??y2?y3???y1?y2??x2?x3???a?t1?y2?y3??t2?y1?y2??有理数,因a为无理数,

4

故得,?x1?x2??y2?y3???y1?y2??x2?x3??0,所以

y1?y2y3?y2?,则 A1,A2,A3共线,这与A1,A2,A3共圆矛盾! x1?x2x3?x2因此所设不真,即这种圆上至多有两个有理点.于是对于所有的无理点M及所有正实数r,P?M,r?的最大值为2.

12、从集合M??1,2,,36?中删去n个数,使得剩下的元素中,任两个数之和都不是

2015的因数,求n的最小值.

答案:17.

解:因2015?5?13?31,M中任两个元素之和不大于71,由于2015不大于71的正因数有1,5,13,31,65,在M的二元子集中,元素和为5的有?1,4?,?2,3?; 元素和为13的有?1,12?,?2,11?,?3,10?,?4,9?,?5,8?,?6,7?; 元素和为31的有?1,30?,?2,29?,?3,28?,?4,27?,?5,26?,?6,25?,元素和为65的有?29,36?,?30,35?,?31,34?,?32,33?;

为直观起见,我们将其画成一个图,每条线段两端的数为上述一个二元子集,为了不构成这些和,每对数(每条线段)中至少要删去一个数;

,?15,16?;

191213530(A)427201123(B)2813141817163433(E)9223629102115312385(C)26247(D)62532

于是在图(A),(B)中各至少要删去4个数,图(C),(D)中各至少要删去2个数,图(E)中至少删去5个数,总共至少要删去17个数.

另一方面,删去适当的17个数,可以使得余下的数满足条件;例如在图(A)中删去12,30,4,22,图(B)中删去11,29,3,21,(C)中删去23,5,(D)中删去24,6,(E)中删去13,14,15,31,32.这时图中所有的线段都已被断开.

5

2015全国高中数学联赛江西预赛试题及解答

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答(6月14日上午8:30??11:30)一、填空题1、若三位数n?abc是一个平方数,并且其数字和a?b?c也是一个平方数,则称n为超级平方数,这种超级平方数的个数是.答案:13个.解:可顺次列举出:100,121,144
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