台湾省历年中考真题
考点：二 次函数的性质；一次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征． 分析：（ 1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B
的坐标； （2）求出点A关于对称轴的对称点（2，﹣2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式． 解答：解 ：（1）当x=0时，y=﹣2，
∴A（0，﹣2），
抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1，
∴B（1，0）；
（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，﹣2）， 则直线l经过A′、B，
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则解得
， ，
所以，直线l的解析式为y=﹣2x+2；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，
结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方，
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1， 当x=﹣1时，y=﹣2×（﹣1）+2=4， 所以，抛物线过点（﹣1，4）， 当x=﹣1时，m+2m﹣2=4， 解得m=2，
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∴抛物线的解析式为y=2x2﹣4x﹣2．
点评：本 题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特
征，第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（﹣1，4）是解题的关键． 24．（7分）（2013?北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．
考点：全 等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质 分析：（ 1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；
（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出
∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可； （3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可． 解答：解 ：（1）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，
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∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°， 即∠ABD=30°﹣α；
（2）△ABE是等边三角形， 证明：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD， 则BC=BD，∠DBC=60°， ∵∠ABE=60°，
∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形， 在△ABD与△ACD中
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α， ∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD， 在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC， ∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形；
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°， ∴∠DCE=150°﹣60°=90°， ∵∠DEC=45°，
∴△DEC为等腰直角三角形， ∴DC=CE=BC， ∵∠BCE=150°，
∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°， ∵∠EBC=30°﹣α=15°， ∴α=30°．
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点评：本 题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的
判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等． 25．（8分）（2013?北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2，0）． （1）当⊙O的半径为1时，
①在点D、E、F中，⊙O的关联点是 D，E ．
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．
考点：圆 的综合题． 分析：（ 1）①根据关联点的定义得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关
系；
②若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，进而得出PC的长，进而得出点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r，再考虑临界点位置的P点，进而得出m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则
KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围． 解答：解 ：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，
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∵⊙O的半径为1，∴RO=1， ∵EO=2，
∴∠OER=30°，
根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°， ∴E点是⊙O的关联点， ∵D（，），E（0，﹣2），F（2
，0），
∴OF＞EO，DO＜EO，
∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°， 故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E； 故答案为：D，E；
②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，
需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°， 由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°， 连接BC，则PC=
=2BC=2r，
∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r； 由上述证明可知，考虑临界点位置的P点， 如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2， 过点O作x轴的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF=∴∠OGF=60°， ∴OH=OGsin60°=sin∠OPH=
=
=
=
，
； ，
∴∠OPH=60°，
可得点P1与点G重合，
过点P2作P2M⊥x轴于点M， 可得∠P2OM=30°，
∴OM=OP2cos30°=，
从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上， ∴0≤m≤；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点； 考虑临界情况，如图4，
即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，
此时，r=1，
故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．
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【解析版】2013年北京市中考数学试卷及答案
