台湾省历年中考真题
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．
考点：切 线的性质；相似三角形的判定与性质． 分析：（ 1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD=∠EDO；
（2）连接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长． 解答：（ 1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，
∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO， ∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°， ∴∠APO=∠EDO， ∴∠EPD=∠EDO；
（2）解：连接OC， ∴PA=PC=6，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10， ∴CD=4， ∵tan∠PDA=，
∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5， ∵∠EPD=∠DEP， ∴△OED∽△DEP， ∴
，
在Rt△OED中，OE2+DE2=52， ∴OE=．
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点评：本 题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运
用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力． 21．（5分）（2013?北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分．
（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为 0.03 平方千米；
（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据； （3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）．
第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表： 日接待游客量 单日最多接待游客量 停车位数量
（万人次） （万人次） （个）
第七届 0.8 6 约3000 第八届 2.3 8.2 约4000 第九届 8（预计） 20（预计） 约10500 第十届 1.9（预计） 7.4（预计） 约 3700
考点：条 形统计图；用样本估计总体；统计表；扇形统计图． 分析：（ 1）根据月季园和牡丹园所占的比例求出牡丹园的面积即可；
（2）先算出植物花园的总面积，然后可求出第九届园博会会园区陆地面积，根据图象求出第七、八界园博会的水面面积之和，补全条形统计图即可；
（3）根据图表所给的信息，求出停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，算出比值，求出大约需要设置的停车位数量． 解答：解 ：（1）∵月季园面积为0.04平方千米，月季园所占比例为20%，
则牡丹园的面积为：15%×
=0.03（平方千米）；
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（2）植物花园的总面积为：0.04÷20%=0.2（平方千米）， 则第九届园博会会园区陆地面积为：0.2×18=3.6（平方千米）， 第七、八界园博会的水面面积之和=1+0.5=1.5（平方千米）， 则水面面积为1.5平方千米， 如图：
；
（3）由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500， 则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：500×7.4≈3700． 故答案为：0.03；3700． 点评：本 题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．（5分）（2013?北京）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取
AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积． 小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 a2 ；
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=
，则AD的长为 ．
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考点：四 边形综合题 分析： 1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2； （
（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度． 解答：
解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，
每个等腰直角三角形的面积为：a?a=a2，
则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等． 故填空答案为：a2．
（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2， ∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2．
（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QEF，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
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如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a， 在Rt△RMF中，RM=MF?tan30°=a×∴S△RSF=a?
a=
a2．
x2．
=
a，
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，同理可求得：S△ADS=
∵三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和=3S△RSF=3×正△ABC的面积为
a2，
a2=
a2，
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS， ∴
=3×
x2，解得x=或x=
（不合题意，舍去）
∴x=，即AD的长为． 故填空答案为：．
点评：本 题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三
角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（7分）（2013?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式； （3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
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[解析版]2013年北京市中考数学试卷及答案
