《创新设计》图书
第1讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B级要求； (2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B级要求.
真 题 感 悟
?0
1.(2017·江苏卷)已知矩阵A＝?
?1 (1)求AB；
x2y2
(2)若曲线C1：8＋2＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.
?0 1??1 0??0 2?
???＝??. 解 (1)AB＝?
?1 0??0 2??1 0?
?x??0
(2)设P(x1，y1)是曲线C1上任意一点，变换后对应的点为??＝?
?y??1 ?x1＝y，
?x＝2y1，?所以?即?1
y＝?y＝x1，1?2x.?
2
x21y1
因为P(x1，y1)在曲线C1上，所以8＋2＝1，
1??1 ?，B＝?
?0 0?0?
?. 2?
2??x1?? ??， 0??y1?
从而x2＋y2＝8，即为曲线C2的方程.
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1??1 21 －??2?，求矩阵?，矩阵B的逆矩阵B－1＝?2.(2016·江苏卷)已知矩阵A＝????0 -2?
?0 2?AB.
1
1
221 4?? 2??. －1－12解 B＝(B)＝＝
?0 1?01?2?2 21
5?1 4???1 21 ????＝?4?.
? ∴AB＝???0 －2??1??
?0 2??0 －1?
??????x＝－8＋t，??
3.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?(tt
y＝??2?x＝2s2，
为参数)，曲线C的参数方程为?(s为参数).设P为曲线C上的动点，求
y＝22s?点P到直线l的距离的最小值. x＝－8＋t，??
解 由?消去t. t
y＝??2得l的普通方程为x－2y＋8＝0， 因为点P在曲线C上，设点P(2s2，22s).
|2s2－42s＋8|2（s－2）2＋4
则点P到直线l的距离d＝＝，
55445
∴当s＝2时，d有最小值＝5. 5
1x＝1＋2t，??
4.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?
3y＝??2t?x＝cos θ，
(t为参数)，椭圆C的参数方程为?(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于
?y＝2sin θ
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A，B两点，求线段AB的长.
解 直线l的方程化为普通方程为3x－y－3＝0， y2
椭圆C的方程化为普通方程为x＋4＝1，
2
?3x－y－3＝0，?
联立方程组得?2y2
x＋＝1，?4?1x2＝－，?7?x1＝1?
解得?或?
y＝083?1
??y2＝－7，?183?
?. ∴A(1，0)，B?－，－
7??7故AB＝
1?2?83?216?
?1＋7?＋?0＋?＝.
7??7??
考 点 整 合
1.矩阵的乘法与逆矩阵 (1)
(2)若二阶矩阵A，B满足AB＝BA＝E(E为二阶单位矩阵)，则称A是可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为B＝A－1. 2.矩阵对应的变换
?a b??x??x′??a b??x??ax＋by?
?. 矩阵M＝??对应的变换T：(x，y)→(x′，y′)满足??→??＝?? ??＝?
?c d??y??y′??c d??y??cx＋dy?3.二阶矩阵的特征值和特征向量
?a b??x?
(1)设λ是二阶矩阵M＝??的一个特征值，它的一个特征向量为α＝??，则有
?c d??y??x??x?
M??＝λ??. ?y??y?
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?λ-a -b?2?a b?
?＝λ－(a＋d)λ＋ad－bc为矩阵M＝??的特征多项式. (2)f(λ)＝?
?-c λ-d??c d?(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)?ax＋by＝λx，?x0?
＝0，此时将λ代入?可得到一组非零解??，它即为M的属于λ的
?y0??cx＋dy＝λy一个特征向量.
4.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， ρ2＝x2＋y2，?
?x＝ρcos θ，?
?则? y
?y＝ρsin θ，?tan θ＝x（x≠0）.
?5.直线的参数方程
?x＝x0＋tcos α，
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为?(t为参数).
?y＝y0＋tsin α→
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量. 6.圆的参数方程
?x＝x0＋rcos θ，圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为?(θ为参数，
?y＝y0＋rsin θ0≤θ≤2π).
热点一 二阶矩阵与平面变换
?1 0?
?所对应的变换T把曲线C变成曲【例1】 (2017·盐城模拟)已知矩阵A＝?
?0 2?x2y2
线C1：4＋2＝1，求曲线C的方程. 解 设曲线C上任一点为(x，y)， 经过变换T变成(x0，y0)，
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?1 0??x??x0?
???＝??，即x0＝x，y0＝2y. 则?
?0 2??y??y0?
x2y200
由4＋2＝1，得曲线C的方程为x2＋4y2＝4.
?x??x′?
探究提高 解决这类问题一般是设变换T：??→??，求出原曲线在T的变换下
?y??y′?得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.
?1
【训练1】 已知曲线C1：x＋y＝1，对它先作矩阵A＝?
?0
2
2
0?
?对应的变换，再2?
?0
作矩阵B＝?
?1 b?x22
?对应的变换，得到曲线C2：＋y＝1，求实数b的值.
40?
b??1
? ?0??0
0??0 2b??＝??. 2??1 0?
?0
解 从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA＝?
?1
在曲线C1上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为 P′(x′，y′)，
?0 2b??x0??x′??2by0??x′?
? ??＝??，即??＝??. 则有?
?1 0??y0??y′??x0??y′?1??y0＝x′?2by0＝x′，2b 故?解得??x0＝y′.??x0＝y′.
?1?2代入曲线C1方程得，y′＋?2bx′?＝1.
??
2
?1?222
即曲线C2方程为：?2b?x＋y＝1.
??
x22
与已知的曲线C2的方程4＋y＝1比较得(2b)2＝4. 所以b＝±1.
热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法
?a 2?
?变换下得到点P′(5，【例2】 (2017·徐州调研)已知点P(3，1)在矩阵A＝?
?b －1?
专题七下第1讲
