《创新设计》图书
第1讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程
高考定位 高考对本内容的考查主要有:(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算,二阶矩阵的逆矩阵及其求法,矩阵的特征值与特征向量的求法,属B级要求; (2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程,参数方程与普通方程的互化,极坐标与直角坐标的互化,属B级要求.
真 题 感 悟
?0
1.(2017·江苏卷)已知矩阵A=?
?1 (1)求AB;
x2y2
(2)若曲线C1:8+2=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.
?0 1??1 0??0 2?
???=??. 解 (1)AB=?
?1 0??0 2??1 0?
?x??0
(2)设P(x1,y1)是曲线C1上任意一点,变换后对应的点为??=?
?y??1 ?x1=y,
?x=2y1,?所以?即?1
y=?y=x1,1?2x.?
2
x21y1
因为P(x1,y1)在曲线C1上,所以8+2=1,
1??1 ?,B=?
?0 0?0?
?. 2?
2??x1?? ??, 0??y1?
从而x2+y2=8,即为曲线C2的方程.
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1??1 21 -??2?,求矩阵?,矩阵B的逆矩阵B-1=?2.(2016·江苏卷)已知矩阵A=????0 -2?
?0 2?AB.
1
1
221 4?? 2??. -1-12解 B=(B)==
?0 1?01?2?2 21
5?1 4???1 21 ????=?4?.
? ∴AB=???0 -2??1??
?0 2??0 -1?
??????x=-8+t,??
3.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为?(tt
y=??2?x=2s2,
为参数),曲线C的参数方程为?(s为参数).设P为曲线C上的动点,求
y=22s?点P到直线l的距离的最小值. x=-8+t,??
解 由?消去t. t
y=??2得l的普通方程为x-2y+8=0, 因为点P在曲线C上,设点P(2s2,22s).
|2s2-42s+8|2(s-2)2+4
则点P到直线l的距离d==,
55445
∴当s=2时,d有最小值=5. 5
1x=1+2t,??
4.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为?
3y=??2t?x=cos θ,
(t为参数),椭圆C的参数方程为?(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于
?y=2sin θ
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A,B两点,求线段AB的长.
解 直线l的方程化为普通方程为3x-y-3=0, y2
椭圆C的方程化为普通方程为x+4=1,
2
?3x-y-3=0,?
联立方程组得?2y2
x+=1,?4?1x2=-,?7?x1=1?
解得?或?
y=083?1
??y2=-7,?183?
?. ∴A(1,0),B?-,-
7??7故AB=
1?2?83?216?
?1+7?+?0+?=.
7??7??
考 点 整 合
1.矩阵的乘法与逆矩阵 (1)
(2)若二阶矩阵A,B满足AB=BA=E(E为二阶单位矩阵),则称A是可逆矩阵,B为A的逆矩阵,记为B=A-1. 2.矩阵对应的变换
?a b??x??x′??a b??x??ax+by?
?. 矩阵M=??对应的变换T:(x,y)→(x′,y′)满足??→??=?? ??=?
?c d??y??y′??c d??y??cx+dy?3.二阶矩阵的特征值和特征向量
?a b??x?
(1)设λ是二阶矩阵M=??的一个特征值,它的一个特征向量为α=??,则有
?c d??y??x??x?
M??=λ??. ?y??y?
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?λ-a -b?2?a b?
?=λ-(a+d)λ+ad-bc为矩阵M=??的特征多项式. (2)f(λ)=?
?-c λ-d??c d?(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值,则λ是M的特征多项式的一个根,它满足f(λ)?ax+by=λx,?x0?
=0,此时将λ代入?可得到一组非零解??,它即为M的属于λ的
?y0??cx+dy=λy一个特征向量.
4.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ), ρ2=x2+y2,?
?x=ρcos θ,?
?则? y
?y=ρsin θ,?tan θ=x(x≠0).
?5.直线的参数方程
?x=x0+tcos α,
经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为?(t为参数).
?y=y0+tsin α→
设P是直线上的任一点,则t表示有向线段P0P的数量. 6.圆的参数方程
?x=x0+rcos θ,圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为?(θ为参数,
?y=y0+rsin θ0≤θ≤2π).
热点一 二阶矩阵与平面变换
?1 0?
?所对应的变换T把曲线C变成曲【例1】 (2017·盐城模拟)已知矩阵A=?
?0 2?x2y2
线C1:4+2=1,求曲线C的方程. 解 设曲线C上任一点为(x,y), 经过变换T变成(x0,y0),
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?1 0??x??x0?
???=??,即x0=x,y0=2y. 则?
?0 2??y??y0?
x2y200
由4+2=1,得曲线C的方程为x2+4y2=4.
?x??x′?
探究提高 解决这类问题一般是设变换T:??→??,求出原曲线在T的变换下
?y??y′?得到的曲线,再根据条件求相应的系数值.
?1
【训练1】 已知曲线C1:x+y=1,对它先作矩阵A=?
?0
2
2
0?
?对应的变换,再2?
?0
作矩阵B=?
?1 b?x22
?对应的变换,得到曲线C2:+y=1,求实数b的值.
40?
b??1
? ?0??0
0??0 2b??=??. 2??1 0?
?0
解 从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA=?
?1
在曲线C1上任意选一点P(x0,y0),设它在矩阵BA对应的变换作用下变为 P′(x′,y′),
?0 2b??x0??x′??2by0??x′?
? ??=??,即??=??. 则有?
?1 0??y0??y′??x0??y′?1??y0=x′?2by0=x′,2b 故?解得??x0=y′.??x0=y′.
?1?2代入曲线C1方程得,y′+?2bx′?=1.
??
2
?1?222
即曲线C2方程为:?2b?x+y=1.
??
x22
与已知的曲线C2的方程4+y=1比较得(2b)2=4. 所以b=±1.
热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法
?a 2?
?变换下得到点P′(5,【例2】 (2017·徐州调研)已知点P(3,1)在矩阵A=?
?b -1?
专题七下第1讲
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