第四节 万有引力与航天
【基础梳理】
提示：椭圆 一个焦点 面积 半长轴 公转周期 质量m1和m2的乘积 它们之间距离r的二次方
Gm1m2
质量分布均匀 GMr2R gR
【自我诊断】
1．判一判
(1)所有物体之间都存在万有引力．( )
(2)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心．( ) (3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( ) (4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关．( ) (5)同步卫星可以定点在北京市的正上方．( )
(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．( ) 提示：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
1
2．做一做
(1)近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)( )
A．ρ＝
C．ρ＝kT D．ρ＝2
2
kTB．ρ＝kT
kTMm4π2433π
提示：选D.由万有引力定律知G2＝m2r，联立M＝ρ·πR 和r＝R，解得ρ＝2，
rT3GT3π
为一常数，设为k，故D正确．
G(2)(2020·安徽安庆二模)2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面南极艾特肯盆地的预选着陆区．存在“月球背面”是因为月球绕地球公转的同时又有自转，使得月球在绕地球公转的过程中始终以同一面朝向地球．根据所学物理知识，判断下列说法中正确的是( )
A．月球绕地球公转的周期等于地球自转的周期 B．月球绕地球公转的周期等于月球自转的周期 C．月球绕地球公转的线速度大于地球的第一宇宙速度
D．月球绕地球公转的角速度大于地球同步卫星绕地球运动的角速度
提示：选B.由题意知，月球绕地球一周的过程中，其正面始终正对地球，据此可知，月球公转一周的时间内恰好自转一周，故形成人们始终看不到月球背面的原因是月球绕地球的公转周期与其自转周期相同，故A错误，B正确；根据万有引力提供向心力得线速度为v＝
GM，地球的第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大环绕速度，所以月球绕地球公转r的线速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；根据万有引力提供向心力得角速度为ω＝
GM，月球绕地球公转的半径大于地球同步卫星绕地球运动的半径，所以月球绕地球公转r3
的角速度小于地球同步卫星绕地球运动的角速度，故D错误．
开普勒行星运动定律与万有引力定律[学生用书P78]
【知识提炼】
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
2
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向
＋mg，所以mg＝F－F向＝GMm2
2－mRω自. R2．星体表面上的重力加速度
(1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝G2，得g＝2. (2)设在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝得g′2，（R＋h）＝
mMRGMRGMmGM2
（R＋h）
g（R＋h）2
所以＝. g′R2
3．求天体质量和密度常用的估算方法
使用方法 已知量 利用公式 2Mm4πG2＝mr2 rT表达式 4πrM＝2 23备注 r、T r、v 利用运行天体 质量的计算 GTMmv2G2＝m rrMmv2G2＝m rrT＝2πr rv2M＝ Gv3TM＝ 2πG只能得到中心天体的质量 v、T v利用天体表面重力加速度 g、R GMmmg＝2 RgR2M＝ G利用近 地卫星 只需测 密度的计算 利用运行天体 r、T、R 2Mm4π33πrG2＝mr2 rTρ＝23 GTRM＝ρπR3 43当r＝R时 3
ρ＝GMmmg＝2 M＝R4ρπR3 33π2 出其运 行周期 GT利用天体表面重力加速度 g、R ρ＝3g 4πGR【典题例析】 (2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，
在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
[解析] 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图象是D.
[答案] D
【迁移题组】
迁移1 开普勒定律在椭圆轨道上的应用
1．(多选)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于
4B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解析：选CD.在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速率越来越小，C正确；海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于，A错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力
4作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q到N的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有
T0
T0
4
引力先做负功后做正功，D正确．
迁移2 星球附近重力加速度的求解
2．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样．若某黑洞的半径R约为45
Mc28km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c＝3×10 m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面
R2G的重力加速度大约为( )
A．10 m/s C．10 m/s
12
2
8
2
B．10 m/s D．10 m/s
14
2
102
解析：选C.黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有
GMm＝R2
Mc2c2
mg，又有＝，联立解得g＝，代入数据得重力加速度约为1012 m/s2，故C正确．
R2G2R迁移3 天体质量和密度的计算
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为 6.67×10
9
－11
N·m/kg.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
B．5×10 kg/m D．5×10 kg/m
18
3
12
3
22
A．5×10 kg/m C．5×10 kg/m
15
3
3
解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，
Mm4π2R433π153
根据G2＝m2，M＝ρ·πR，得ρ＝2，代入数据解得ρ≈5×10 kg/m，C正确．
RT3GT
计算中心天体的质量、密度时的两点区别
(1)天体半径和卫星的轨道半径
通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于或等于天体的半径．
(2)自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．
卫星运行规律及特点[学生用书P79]
【知识提炼】
1．卫星的轨道
5
2021版高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天4第四节万有引力与航天学案
