所以当
，
所以
时，由
，
可得： 等号成立，
，
即的最小值为， 故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关利用恒成立问题求参数的最值的问题，涉及到的知识点有利用导数研究不等式恒成立问题，属于较难题目.
三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列（1）求数列（2）在数列
的前项和满足的通项公式；
的前100项中，是否存在两项
，（
，且
），使得，，三项成等比数列？
，
.
若存在，求出所有的，的取值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）先根据等差数列定义求（2）根据条件化简【详解】（1）因为所以所以当又
（2）若，则即因为
，所以. 时，
，所以
，三项成等比数列， ，即
.
，所以
，所以
.
，
. .
，所以
，再根据项与和的关系求； （2）见解析；
关系式，再利用范围限制取法，即得正整数解.
， ，
又验证得
为3的奇数倍，所以
，
，
.
，
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的概念，通项公式的求解，数列项与和的关系，关于是否存在类问题的解法，属于简单题目.
18.某企业为了解年广告费（单位：万元）对年销售额（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年销售额
的数据作了初步整理，得到下面的表格：
3 39 4 49 5 54 年广告费/万元 2 年销售额/万元 26
（1）用年广告费作解释变量，年销售额作预报变量，在所给坐标系中作出这些数据的散点图，并判断
与
理由）.
哪一个更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程. （3）已知商品的年利润与，的关系为
.根据（2）的结果，计算年广告费约为何值时（小数点
，
，…，
，其回归直线
的
后保留两位），年利润的预报值最大.附：对于一组数据
斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
（3）6.65万元
（1）根据题中所给的数据画出散点图，可以发现点落在一条直线的周围，从而判断出
更适合作为
年销售额关于年广告费的回归方程类型； （2）根据数据，利用公式求得回归直线的方程； （3）根据题意，将相应的量代换，求得结果. 【详解】（1）散点图如图所示，
故（2）
更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型.
，
，
则 ，
，
所以回归方程为
.
（3）由（2）可知年利润的预报值为
，
设可得
，则
，
，
故当，
即（万元）时，年利润的预报值最大.
【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有回归类型的选取，散点图的绘制，回归直线的求解等，属于中档题目. 19.如图①，在五边形
中，，，，，将沿折起到的
位置，得到如图②所示的四棱锥，为线段的中点，且平面.
（1）求证：（2）若直线
与
平面.
与平面
所成角的正弦值.
所成角的正切值为，求直线
【答案】（1）见证明；（2）【解析】 【分析】 （1）取
的中点，连接
，，又为的中点，得到四边形为平行四边形，从而应用线面平行
的判定定理证得结果. （2）
，可得
，取
设
为直线
与
所成的角，可得
，
，设
，则
，
的中点O，连接PO，过O作AB的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
，利用，. ，
.
. .
，即可得出.
为平面PBD的法向量，则
的中点，连接
，
【详解】（1）证明：取又为又则四边形因为所以
平面平面的中点，所以，
，所以为平行四边形，所以，. 平面，所以
及为
，
，
平面
，
（2）解：因为所以由又因为又因为
平面平面平面，即
，
.
为等边三角形，所以
.
的中点，可得，即
.
，所以
，
平面
，平面与
.
，所以平面.
，所以平面，所以
即为直线
所成的角，
所以设取
，则
，
，所以. .
的中点，连接
，
，过作，
交于点，则，，两两垂直.
以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
则所以设平面则令因为
，则
，
，
，，，， ， .
，所以
.
.
的法向量为
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，应用向量法求线面角的正弦值的问题，属于中档题目. 20.如图①，在
中，
，，
的中点为，点在
的延长线上，且
.固定边
，在平面内
移动顶点，使得圆分别与边线.以
的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲
所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，如图②所示.
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试卷(含解析)
