第二章DIERZHANG变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率
课后训练案巩固提升
1.若函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则Δ??等于( )
Δ??
A.4
C.4+2Δx
B.4x
D.4+2(Δx)2
Δ??Δ??
解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2+1=4Δx+2(Δx)2,∴=
4Δ??+2(Δ??)2
=4+2Δx. Δ??答案:C
2.一个物体的运动方程为s=t2-t+1,其中s的单位是米,t的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( ) A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.4米/秒
Δ??解析:∵Δ??=
(3+Δ??)2-(3+Δ??)+1-(32-3+1)
Δ??=
5Δ??+Δ??2
=5+Δt,∴当Δ??Δt→0时,→5.
Δ??Δ??答案:C
3.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS等于( ) A.8πRΔR B.8πRΔR+4π(ΔR)2 C.4πRΔR+4π(ΔR)2 D.4π(ΔR)2
解析:ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B. 答案:B
4.物体甲,乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( ) A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
解析:在0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大. 答案:C 5.
标为( )
导学号88184017已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐
A.(1,3) B.(-4,33) C.(-1,3) D.不确定
2
解析:设点M的坐标为(t0,2??0+1),则
Δ??2(??0+Δ??)2+1-2??20-1=
Δ??Δ??4??0Δ??+2(Δ??)2
==4t0+2Δx,
Δ??由题意知4t0=-4,即t0=-1. 故点M的坐标为(-1,3). 答案:C
6.函数y=f(x)=ln x+1从e到e2的平均变化率为 . 解析:∵Δx=e2-e,Δy=f(e2)-f(e)=(ln e2+1)-(ln e+1)=ln e=1,∴答案:
e2-e
3Δ??-(Δ??)2
=3-ΔtΔ??
1
Δ??
Δ??=
. e2-e
1
7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为 . 解析:∵Δs=3(0+Δt)-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2,∴当答案:3
Δt趋于
Δ??0时,Δ??
=趋于3.
8.已知甲厂生产一种产品,产品总数y与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是 .
①前3个月内增长越来越快. ②前3个月内增长越来越慢. ③产品数量一直增加.
④第3个月到第8个月内停产.
解析:前3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④. 答案:②④
9.已知函数f(x)=??在区间[1,t]上的平均变化率为-3,则t= . 解析:∵反比例函数y=(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为-答案:3
10.设某产品的总成本函数为
??2
C(x)=1 100+1 200,其中x????
??22
,∴-=-,解得????1×??3
2
2
t=3.
为产量数,则生产900个单位到1 000个
单位时总成本的平均变化率为 . 解析:Δ??=
Δ??
??(1 000)-??(900)
1 000-90021 000
2900
=
1 100+1 200-(1 100+1 200)
100
=12.
19
答案: 11.已知函数y=f(x)=3x2+2,求该函数在x0=1,2,3附近Δx取2时的平均变化率k1,k2,k3,并比较大小. 解函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
[3(??0+Δ??)+2]-(3??20+2)=6x0+3Δx. Δ??2
19
121
??(??0+Δ??)-??(??0)
Δ??
=
当x0=1,Δx=2时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k1=6×1+3×0.5=7.5; 当x0=2,Δx=时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k2=6×2+3×0.5=13.5; 当x0=3,Δx=2时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k3=6×3+3×0.5=19.5.
1121
∵7.5<13.5<19.5,∴k1 12.航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s. (1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么? (2)求前2 s内的平均速度; (3)求第2 s末的瞬时速度. 解(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1 s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2 s后的高度. (2)航天飞机升空后前2 s内的平均速度为 由Ruize收集整理。 感谢您的支持！
数学高中北师大版选修2-2课后习题：2.1 变化的快慢与变化率
