飞驰教育个性化辅导讲义 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义． 【例2】若式子1x?3有意义，则x的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式?x?2x?1有意义的x的取值范围是 22、如果代数式?m?1mn有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【例3】若y=x?5+5?x+2009，则x+y= 解题思路：式子?x?5?0, x?5，y=2009，则x+y=2014 a（a≥0），?5?x?0?2x?1?1?x?(x?y)，则x－y的值为（ ） 举一反三： 1、若A．－1 B．1 C．2 D．3 3、当a取什么值时，代数式 已知a是 2a?1?1取值最小，并求出这个最小值。 5整数部分，b是 5的小数部分，求a?1的值。若17b?2的整数部分为x，小数部分为y，求x2?1的值. y知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. (a)2?a(a?0)． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：?a(a?0)2a?|a|?3. 注意：（1）字母不一定是正数． ??a(a?0)?（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． ?a(a?0) 4. 公式a?|a|??与(a)2?a(a?0)的区别与联系 ??a(a?0)2 （1）数． （3） 2a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）(a)表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负2a2和(a)的运算结果都是非负的． 【典型例题】 【例4】若 则a?b?c? ． a?2?b?3??c?4??0，2举一反三：1、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x－4｜＋2、若2y2?5y?6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿. 2005a?b?1与a?2b?4互为相反数，则?a?b? （公式(?_____________。 a)2?a(a?0)的运用） 【例5】 化简：a?1?(a?3)2的结果为（ ） A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 举一反三： 3已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为 （公式a2?a(a?0)?a??的应用） ?a(a?0)?【例6】已知x?2,则化简A、x?2 举一反三： 2、化简x2?4x?4的结果是 C、?x?2 D、2?x B、x?2 4x2?4x?1??2x?3?得（ ） 2（A） 2 （B）?4x?4 （C）－2 （D）4x?4 3、已知a?0，化简求值：114?(a?)2?4?(a?)2aa 2 【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ A．－2b B．2b C．－2a D．2a 举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：【例8】化简1?x2(a?b)2ao 的结果等于（ ） ba?1?(a?2)2?______． a ?x?8x?16的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ） ?1 0 12 （A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1 举一反三：若代数式Ａ．a≥4 【例9】如果a?举一反三： 1、如果a?(2?a)2?(a?4)2 的值是常数2，则a的取值范围是（ ） Ｄ．aＢ．a≤2 Ｃ．2≤a≤4 ?2或a?4 a2?2a?1?1，那么a的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1 a2?6a?9?3成立，那么实数a的取值范围是（ ） A.a?0B.a?3;C.a??3;D.a?3 2、若(x?3)2?x?3?0，则x的取值范围是（ ） （A）x?3 （B）x?3 （C）x?3 （D）x?3 【例10】化简二次根式a?a?2a2的结果是 （A）?a?2 (B)??a?2 (C)a?2 (D)?a?2 1、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，b1x＝ ；(a?1)x1?a＝ 。 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11】下列根式中能与3是合并的是( ) 3 A.8 B. 27 C.25 D. 12 举一反三： 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A、3和18 B、3和1 C、a2b和ab23 D、a?1和a?1 2、如果最简二次根式3a?8与17?2a能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用 a?a?a来确定，如：a与a，a?b与a?b，a?b与a?b等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a?为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： b与a?b，a?b与a?b，ax?by与ax?by分别互 ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例12】 把下列各式分母有理化 2a（1）?b2b5a5 （2）5?3 5?3 举一反三： 1、已知x 知识点五：根式比较大小 【知识要点】 2?32?3，y??2?32?3，求下列各式的值：（1）x?y22（2）x?3xy?y x?y 4 1、根式变形法 当a?0,b?0时，①如果a?b，则a?b；②如果a?b，则a?b。 2、平方法 当a?0,b?0时，①如果a2?b2，则a?b；②如果a2?b2，则a?b。 3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①a?b?0?a?b；②a?b?0?a?b 8、求商比较法 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①【典型例题】 ab?1?a?b； ②ab?1?a?b 【例13】 比较35与53的大小。 【例14】比较21与的大小。 3?12?1 【例15】比较 7?6与6?5的大小。 【例16】比较7?3与87?3的大小。 已知：，求的值． 二次根式和一元二次方程经典练习题 1. 把a?1a的根号外的因式移到根号内等于 。 2. 若a?b?1与a?2b?4互为相反数，则?a?b?a3，则2005?_____________。 3. 若2?2?a?32??a?3?2等于（ ） A. 5?2a B. 1?2a C. 2a?5 D. 2a?1 4. 若a?1，则A. ?1?a?化简后为（ ） ?a?1?a?1 B. ?1?a?1?a C. ?a?1?1?a D. ?1?a?a?1 5
浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结
