余 弦 定 理

余 弦 定 理

一、教学目标

继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。

二、教学重点与难点

教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。

三、教学过程： 教学环节

合作探究活动

学情分析与设计意

图

1、一般三角形全等的四种判断方法是什么？ 知识 回顾旧知，防止遗abc2、三角形的正弦定理内容，主??sinAsinAsinC回顾 忘

要解决哪几类问题的三角形？

你能判断下列三角形的类型吗？

1、以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形 创设 引入

以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形 以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形 长吗？

引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。 你能够有更好的具体的量化方法吗？

提出 帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法问题 等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学

生的积极讨论。

学生可能比较茫然，帮助学生分析相关内容，从多角践进行检验。

2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c边度看待问题，用实

引导学生从相关知识入手，选择简洁的工具。

学生对向量知识可

利用向量法推导余弦定理： 如图：设CB?a,CA?b,AB?C,， 由三角形法则有c?a?b A 能遗忘，注意复习；在利用数量积时，角度可能出现错

B 误，出现不同的表C 2合作

c?c?c??a?b???a?b?探究 　　?a?a?b?b?2a?b

　　?a2?b2?2abcosc即：△ABC中:c2?a2?b2?2abcosc同理，让学生利用相同方法推导，

a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2acosB

余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA 归纳b2?a2?c2?2accosB 222概括

c?a?b?2abcosC

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

结构观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关分析

系，并发现a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现

cosA?b2?c2?a2余弦定理的推论：知识2bc

联系

a2?c2?b2a2?b2?c2cosB?2ac cosC?2ab

方法怎样准确地解答引入中的两个问题？

应用 怎样利用已知条件判断三角形的形状？

示形式，让学生从错误中发现问题，

巩固向量知识，明确向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已知。

知识归纳比较，发现特征，加强识记

使学生明确对应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”

问题

解决“边、边、边”

问题

用准确的量化关系

去解决问题，用边长去判断三角形形状，勾股定理是余弦定理特例。

应用数学知识求解

问题加强计算器的

例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm， 运算功能，同时， 知识A＝41°，求解三角形（角度精确到1°，边长精确到应用 1cm）

例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精确到1′） 例3：已知△ABC中a?3,b?3,sinA?63求c边长 知识分析：（1）用正弦定理分析引导

深化

（2）应用余弦定理a2?b2?c2?2bccosA构造关于C的方程求解。 （3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。

1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离

d1与第二辆车的距离d2之间关系为（ ）

A：d1>d2 B：d1= d2 练习检测

C：d1< d2 D：大小不确定

2、锐角△ABC中b＝1，c＝2，则a取值为（ ） A：（1,3） B：（1,3） C：（3，2） D：（3，5）

3、在△ABC中若有acosA?bcosB，你能判断这个三角形的形状吗？若acosB?bcosA呢？

巩固好正弦定理，

余弦定理知识，发

现两种知识方法在

解三角形中的综合应用。

继续深化正弦、余

弦定理，尤其是余弦定理的方程思想

求解问题优越于余

弦定理。并让学生初步发现“边、边、

角”问题解法，为下节学习辅垫。

用练习去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养。

课堂

1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什小结 么利与弊？ 2、从本课中你学到了哪些知识和方法？

1、推导余弦定理及其推论 板书2、例3、例4 设计 3、练习指导

4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识

作业1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。 设计 2、第11页A组3、4题

通过知识回顾，使学生各自体会收

获。

巩固知识 多角度看待问题